Question

Los puntos $P$ y $Q$ están en un plano con $PQ=8$ . ¿Cuántas ubicaciones para el punto $R$ hay en este plano tales que el triángulo con vértices $P$ , $Q$ y $R$ es un triángulo rectángulo con área $12$ unidades cuadradas?

Points $P$ and $Q$ lie in a plane with $PQ=8.$ How many locations for point $R$ in this plane are there such that the triangle with vertices $P,$ $Q,$ and $R$ is a right triangle with area $12$ square units?

$2$

$4$

$6$

$8$

$12$

Solución:

Coloca $P=(-4,0)$ y $Q=(4,0)$ . Como el área es $12$ y $PQ=8$ , la distancia de $R$ a la recta $PQ$ es $3$ , así que $R=(x,\pm 3)$ .

Si el ángulo recto está en $P$ , entonces $R=(-4,\pm 3)$ , lo que da $2$ puntos. Si está en $Q$ , entonces $R=(4,\pm 3)$ , lo que da $2$ puntos más.

Si el ángulo recto está en $R$ , entonces $PQ$ es la hipotenusa, así que $\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50. \end{aligned}$ Por lo tanto $x^2=7$ , lo que da $R=(\pm\sqrt7,\pm 3)$ , otros $4$ puntos.

El total es $2+2+4=8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place $P=(-4,0)$ and $Q=(4,0)$ . Since the area is $12$ and $PQ=8$ , the distance from $R$ to line $PQ$ is $3$ , so $R=(x,\pm 3)$ .

If the right angle is at $P$ , then $R=(-4,\pm 3)$ , giving $2$ points. If it is at $Q$ , then $R=(4,\pm 3)$ , giving $2$ more points.

If the right angle is at $R$ , then $PQ$ is the hypotenuse, so $\begin{aligned} &64=PR^2+QR^2 \\ &\quad =(x+4)^2+9 \\ &\quad {}+(x-4)^2+9 \\ &\quad =2x^2+50. \end{aligned}$ Thus $x^2=7$ , giving $R=(\pm\sqrt7,\pm 3)$ , another $4$ points.

The total is $2+2+4=8$ .

Thus, the correct answer is D .

2020 AMC 10B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años