Question

Se dice que un entero positivo de dos dígitos es cariñoso si es igual a la suma de su dígito de las decenas (no nulo) y el cuadrado de su dígito de las unidades. ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son cariñosos?

A two-digit positive integer is said to be cuddly if it is equal to the sum of its nonzero tens digit and the square of its units digit. How many two-digit positive integers are cuddly?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Sea $\underline{a} \ \underline{b}$ un número cariñoso de $2$ dígitos.

Entonces $10a + b = a + b^2.$ Reordenando, obtenemos $9a = b(b - 1).$ Esto significa que $9$ divide a $b$ o a $b - 1$ ( $3$ no puede dividir a la vez a $b$ y a $b - 1$ ).

Así, $b$ es $0$ o $9$ . Si $b=0$ , entonces $a=0$ , lo que no da un número de dos dígitos. Si $b=9$ , entonces $a=8$ . Comprobando, obtenemos que $89$ es un número cariñoso. Esto muestra que solo hay $1$ número cariñoso de dos dígitos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $\underline{a} \ \underline{b}$ be a $2$ -digit cuddly number.

Then $10a + b = a + b^2.$ Rearranging, we get $9a = b(b - 1).$ This means that $9$ divides either $b$ or $b - 1$ ( $3$ cannot divide both $b$ and $b - 1$ ).

Thus $b$ is either $0$ or $9$ . If $b=0$ , then $a=0$ , which does not give a two-digit number. If $b=9$ , then $a=8$ . Checking, we get that $89$ is a cuddly number. This shows that there is only $1$ two-digit cuddly number.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años