Question

Cuando un estudiante multiplicó el número $66$ por el decimal periódico $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$ donde $a$ y $b$ son cifras, no se dio cuenta de la notación y simplemente multiplicó $66$ por $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}$ . Más tarde descubrió que su resultado es $0.5$ menor que el resultado correcto. ¿Cuál es el número de $2$ cifras $\underline{a} \ \underline{b}$ ?

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal, $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$ where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ times $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Later he found that his answer is $0.5$ less than the correct answer. What is the $2$ -digit number $\underline{a} \ \underline{b}?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos expresar $\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}}$ como una suma geométrica infinita: $\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}} = 1 + .\underline{a} \ \underline{b} + .00 \ \underline{a} \ \underline{b} + \cdots$ Por lo tanto, podemos usar la fórmula para la suma de una serie geométrica: $S = \dfrac{.\underline{a} \ \underline{b}}{1 - \dfrac{1}{100}}$ $= \dfrac{100}{99} \left(. \underline{a}\ \underline{b}\right) = \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{99}.$ También sabemos que $1. \underline{a}\ \underline{b} = 1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{100}$

Entonces $\begin{align*} \scriptsize 66\left(1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{100}\right) + .5 &= 66\left(1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{99}\right) \\ \dfrac{66}{100}\underline{a}\ \underline{b} + .5 &= \dfrac{66}{99}\underline{a}\ \underline{b} \\ \dfrac{1}{150}\underline{a}\ \underline{b} &= .5 \\ \underline{a}\ \underline{b} &= 75. \end{align*}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can express $\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}}$ as an infinite geometric sum: $\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}} = 1 + .\underline{a} \ \underline{b} + .00 \ \underline{a} \ \underline{b} + \cdots$ We can therefore use the formula for the sum of a geometric sum: $S = \dfrac{.\underline{a} \ \underline{b}}{1 - \dfrac{1}{100}}$ $= \dfrac{100}{99} \left(. \underline{a}\ \underline{b}\right) = \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{99}.$ We also know that $1. \underline{a}\ \underline{b} = 1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{100}$

Then $\begin{align*} \scriptsize 66\left(1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{100}\right) + .5 &= 66\left(1 + \dfrac{\underline{a}\ \underline{b}}{99}\right) \\ \dfrac{66}{100}\underline{a}\ \underline{b} + .5 &= \dfrac{66}{99}\underline{a}\ \underline{b} \\ \dfrac{1}{150}\underline{a}\ \underline{b} &= .5 \\ \underline{a}\ \underline{b} &= 75. \end{align*}$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 8

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 8 en otros años