Question

一名学生把数 $66$ 乘以循环小数 $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}}\text{，}$ 其中 $a$ 和 $b$ 是数字。他没有注意到循环记号，只是计算了 $66$ 乘以 $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}$ 。后来他发现自己的答案比正确答案小 $0.5$ 。 $2$ 位数 $\underline{a} \ \underline{b}$ 是多少？

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal, $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$ where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ times $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Later he found that his answer is $0.5$ less than the correct answer. What is the $2$ -digit integer $\underline{a} \ \underline{b}?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

答案：E

知识点：循环小数等比数列

难度评级：1370

小提示：

比较 $1.\overline{ab}$ 和 $1.ab$ 。

Compare $1.\overline{ab}$ with $1.ab$

大提示：

小数点后百分位之后的循环部分造成了误差。

The repeating tail after the hundredths place accounts for the error

视频讲解：

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文字解答：

设 $N=10a+b$ ，即由数字 $a$ 和 $b$ 组成的两位数。于是 $1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$ 而学生所用的有限小数是 $1.ab=1+\frac{N}{100}\text{。}$

正确的乘积比学生算出的乘积大 $0.5$ ，所以 $66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5\text{。}$ 因此 $N=75$ 。

所以正确答案是 E。

Let $N=10a+b,$ the two-digit integer formed by the digits $a$ and $b.$ Then $1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$ while the terminating decimal the student used is $1.ab=1+\frac{N}{100}.$

The correct product exceeds the student’s product by $0.5,$ so $66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5.$ Hence $N=75.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 8 题