Question

一个等比数列的第二项和第四项分别为 $2$ 和 $6$ 。下列哪个数可能是第一项？

The second and fourth terms of a geometric sequence are $2$ and $6.$ Which of the following is a possible first term?

$-\sqrt{3}$

$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$3$

第四项除以第二项得到 $r^2$ 。

Dividing the fourth term by the second term gives $r^2$

由 $ar=2$ ，第一项为 $a=\dfrac{2}{r}$ ，而 $r$ 可以为负。

With $ar=2,$ the first term is $a=\dfrac{2}{r},$ and $r$ may be negative

设数列为 $a$ 、 $ar$ 、 $ar^2$ 、 $ar^3$ 、 $\dots$ ，其中 $ar=2$ 且 $ar^3=6$ 。相除得 $r^2=3$ ，所以 $r=\pm\sqrt3$ 。

于是 $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。选项中对应的负值是 $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。

所以正确答案是 B。

Let the terms be $a,$ $ar,$ $ar^2,$ $ar^3,$ $\dots$ with $ar=2$ and $ar^3=6.$ Dividing gives $r^2=3,$ so $r=\pm\sqrt3.$

Then $a=\dfrac{2}{r}=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}=\pm\dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The choice $-\dfrac{2\sqrt3}{3}$ matches the negative case.

Thus, the correct answer is B.