Question

符号 $\lfloor x \rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。例如 $\lfloor 3 \rfloor = 3$ ， $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4$ 。计算 $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor \end{gathered}\text{。}$

The symbolism $\lfloor x \rfloor$ denotes the largest integer not exceeding $x.$ For example, $\lfloor 3 \rfloor = 3,$ and $\lfloor \frac{9}{2} \rfloor = 4.$ Compute $\begin{gathered} \lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor \\ {}+ \cdots + \lfloor \sqrt{16} \rfloor. \end{gathered}$

$35$

$38$

$40$

$42$

$136$

答案：B

知识点：取整函数完全平方数求和

难度评级：1170

小提示：

当且仅当 $k^2 \le n \lt (k+1)^2$ 时， $\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$ 。

$\lfloor \sqrt{n} \rfloor = k$ exactly when $k^2 \le n \lt (k+1)^2$

大提示：

分别数出 $1$ 到 $16$ 中有多少个给出 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 这几个取整值。

Count how many of $1$ through $16$ give each floor value $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

解答：

当 $n=1,2,3$ 时，取整值为 $1$ ；当 $n=4,\ldots,8$ 时，取整值为 $2$ ；当 $n=9,\ldots,15$ 时，取整值为 $3$ ；当 $n=16$ 时，取整值为 $4$ 。因此总和为 $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38\text{。}$

所以正确答案是 B。

The value is $1$ for $n=1,2,3;$ it is $2$ for $n=4,\ldots,8;$ it is $3$ for $n=9,\ldots,15;$ and it is $4$ for $n=16.$ The sum is $3\cdot 1 + 5\cdot 2 + 7\cdot 3 + 1\cdot 4 = 38.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 10B 第 7 题

答案：B

难度评级：1170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题