Question

两条斜率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 的直线相交于 $(2, 2)$ 。这两条直线与直线 $x + y = 10$ 围成的三角形面积是多少？

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

答案：C

知识点：坐标几何三角形面积

难度评级：1280

小提示：

求三条直线两两的交点。

Find all three pairwise intersections of the lines

大提示：

对得到的三角形使用距离公式或鞋带公式。

Use the distance or shoelace formula for the resulting triangle

解答：

过 $(2,2)$ 的两条直线的方程为 $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2 \end{aligned}\text{。}$

它们与 $x+y=10$ 的交点分别是 $(6,4)$ 和 $(4,6)$ 。

因此三角形的三个顶点是 $(2,2),(6,4)$ 和 $(4,6)$ 。连接后两个顶点的线段长为 $2\sqrt2$ ，它的中点是 $(5,5)$ ，而从 $(2,2)$ 到这个中点的距离为 $3\sqrt2$ 。

因此面积为 $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6\text{。}$ 所以正确答案是 C。

The two lines through $(2,2)$ have equations $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Their intersections with $x+y=10$ are $(6,4)$ and $(4,6)$ , respectively.

Thus the vertices are $(2,2),(6,4),$ and $(4,6)$ . The segment joining the last two points has length $2\sqrt2$ , its midpoint is $(5,5)$ , and the distance from $(2,2)$ to that midpoint is $3\sqrt2$ .

The area is therefore $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A 第 7 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

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