Question

下列哪一项等价于

$\sqrt{\dfrac{x}{1-\dfrac{x-1}{x}}}$

其中 $x \lt 0$ ？

Which of the following is equivalent to

$\sqrt{\dfrac{x}{1-\dfrac{x-1}{x}}}$

when $x \lt 0?$

$-x$

$x$

$1$

$\sqrt{\dfrac{x}{2}}$

$x\sqrt{-1}$

将分母 $1-\dfrac{x-1}{x}$ 合并成一个分式。

Combine the denominator $1-\dfrac{x-1}{x}$ into a single fraction

$\sqrt{x^2}=|x|$ ，且当 $x \lt 0$ 时， $|x|=-x$ 。

$\sqrt{x^2}=|x|,$ and $|x|=-x$ when $x \lt 0$

分母可化简为 $1-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x-(x-1)}{x}=\dfrac{1}{x}$ 。

所以原式为 $\sqrt{\dfrac{x}{\frac{1}{x}}}=\sqrt{x^2}=|x|$ 。由于 $x \lt 0$ ，它等于 $-x$ 。

所以正确答案是 A。

The denominator simplifies: $1-\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x-(x-1)}{x}=\dfrac{1}{x}.$

So the expression is $\sqrt{\dfrac{x}{\frac{1}{x}}}=\sqrt{x^2}=|x|.$ Since $x \lt 0,$ this equals $-x.$

Thus, the correct answer is A.