Question

有多少个整数 $n$ （不一定是正数）使下式为整数？ $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the following value an integer? $4000 \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

答案：E

知识点：指数质因数分解区间内整数计数

难度评级：1070

小提示：

把 $4000$ 写成 $2^5\cdot5^3$ 。

Write $4000$ as $2^5\cdot5^3$

大提示：

$2$ 和 $5$ 的指数都必须是非负数。

The exponents of $2$ and $5$ must both be nonnegative

解答：

原式可改写为 $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}\text{。}$

要使它成为整数，两个指数都必须非负，即 $\begin{aligned} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3 \end{aligned}\text{。}$

所以 $n$ 共有 $5 + 3 + 1 = 9$ 个取值。

因此正确答案是 E。

We can rewrite the expression as $(2^5 \cdot 5^3) \cdot \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = 2^{5 + n} \cdot 5^{3 - n}.$

For this to be an integer, both exponents must be nonnegative. This means that $\begin{aligned} 5 + n \geq 0 &\Rightarrow n \geq -5 \\ 3 - n \geq 0 &\Rightarrow n \leq 3. \end{aligned}$

This gives us $5 + 3 + 1 = 9$ values for $n.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A 第 7 题

答案：E

难度评级：1070

小提示：

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解答：

其他年份的第 7 题