Question

对多少个常数 $k$ ，多项式 $x^{2}+kx+36$ 有两个不同的整数根？

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 14$

$\ 16$

答案：B

知识点：韦达定理因数系统列举

难度评级：1070

小提示：

不同的根对会给出不同的 k 值

Different root pairs give different values of k

大提示：

两个整数根必须构成 $36$ 的因数对

Integer roots must be factor pairs of $36$

解答：

设两个根为 $r,s$ 。展开 $(x-r)(x-s)$ 得到 $x^2-(r+s)x+rs$ 。与题中多项式比较系数，可得 $rs=36$ 且 $r+s=-k$ 。

因此，需要找出满足 $rs = 36$ 的不同整数 $r$ 和 $s$ 。所有可能的因数对为 $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ 以及 $\pm\{4,9\}\text{。}$

每个无序因数对都会给出一个不同的 $k$ 值，所以共有 $8$ 个可能的 $k$ 值。

所以正确答案是 B。

Let the roots be $r,s.$ Expanding $(x-r)(x-s)$ gives $x^2-(r+s)x+rs.$ Comparing coefficients with the given polynomial yields $rs=36$ and $r+s=-k.$

Therefore, we need $r$ and $s$ distinct such that $rs = 36.$ All the possible factor pairs are $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ and $\pm\{4,9\}.$

Each of these unordered pairs produces a unique value for $k,$ so there are $8$ possible values for $k.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10B 第 7 题

答案：B

难度评级：1070

小提示：

大提示：

解答：

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