Question

考虑下面 $100$ 个集合，每个集合含 $10$ 个元素： $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\} \end{gathered}\text{。}$ 其中有多少个集合恰好含有两个 $7$ 的倍数？

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each: $\begin{gathered} \{1,2,3,\ldots,10\},\\ \{11,12,13,\ldots,20\},\\ \{21,22,23,\ldots,30\},\\ \vdots\\ \{991,992,993,\ldots,1000\}. \end{gathered}$ How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$\ 40$

$\ 42$

$\ 43$

$\ 49$

$\ 50$

答案：B

知识点：倍数模运算分类讨论

难度评级：1370

小提示：

一个区间恰含两个倍数，当且仅当其中第一个 $7$ 的倍数末位为 $1$ 、 $2$ 或 $3$

A block has two multiples exactly when its first multiple of $7$ ends in $1,$ $2,$ or $3$

大提示：

追踪 $7$ 的各个倍数的个位数字

Track the units digits of the multiples of $7$

解答：

一个由十个连续整数组成的集合恰好含有两个 $7$ 的倍数，当且仅当其中第一个 $7$ 的倍数位于前三个位置之一。因此，这个倍数的个位数字必须是 $1$ 、 $2$ 或 $3$ 。

这些个位数字所对应的 $7$ 的倍数分别为 $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j\end{gathered}\text{。}$ 对每个表达式， $j=0,1,\ldots,13$ 都会给出不超过 $1000$ 的数，因此每一类对应 $14$ 个集合。总数为 $3\cdot14=42$ 。

所以正确答案是 B。

A block of ten consecutive integers contains exactly two multiples of $7$ precisely when its first multiple of $7$ is in one of the first three positions. Thus that multiple must have units digit $1,$ $2,$ or $3.$

The multiples of $7$ with those units digits are, respectively, $\begin{gathered}21+70j,\\42+70j,\\63+70j.\end{gathered}$ For each expression, $j=0,1,\ldots,13$ gives a value at most $1000,$ so each class contributes $14$ blocks. Therefore, the total is $3\cdot14=42.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B 第 8 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题