Question

和式 $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ 可写成 $a-\dfrac{1}{b!}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a+b$ 。

The sum $\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots+\dfrac{2021}{2022!}$ can be expressed as $a-\dfrac{1}{b!},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$\ 2020$

$\ 2021$

$\ 2022$

$\ 2023$

$\ 2024$

答案：D

知识点：裂项相消阶乘数学归纳法

难度评级：1220

小提示：

把每一项写成两个相邻阶乘倒数的差。

Look for a difference involving consecutive factorial reciprocals

大提示：

把每一项改写成会裂项相消的形式。

Rewrite each term so the sum telescopes

解答：

每一项都可以裂项相消，因为 $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\text{。}$ 求和后，中间所有阶乘的倒数都相消，只剩下 $1-\frac1{2022!}\text{。}$ 因此， $a=1, b=2022$ ，所以 $a+b=2023$ 。

所以正确答案是 D。

Each term telescopes because $\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}.$ Summing makes every intermediate factorial reciprocal cancel, leaving $1-\frac1{2022!}.$ Hence $a=1, b=2022,$ and $a+b=2023.$

Thus, our answer is D .

2022 AMC 10B 第 9 题

答案：D

难度评级：1220

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题