Question

函数 $f$ 对所有实数 $x$ 定义为 $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ 其中 $\lfloor r \rfloor$ 表示不超过实数 $r$ 的最大整数。求 $f$ 的值域。

The function $f$ is defined by $f(x) = \lfloor|x|\rfloor - |\lfloor x \rfloor|$ for all real numbers $x,$ where $\lfloor r \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $r.$ What is the range of $f?$

$\{-1, 0\}$

非正整数集合

The set of nonpositive integers

$\{-1, 0, 1\}$

$\{0\}$

非负整数集合

The set of nonnegative integers

答案：A

知识点：取整函数绝对值分类讨论

难度评级：1370

小提示：

分别检查正数、整数、负的非整数。

Check positive numbers, integers, and negative non-integers separately

大提示：

对负的非整数，比较先取绝对值再向下取整和先向下取整再取绝对值。

For negative non-integers, compare rounding before and after absolute value

解答：

若 $x\ge0$ ，则 $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ ，所以 $f(x)=0$ 。

若 $x$ 是负整数，则两项都等于 $|x|$ ，所以仍有 $f(x)=0$ 。

若 $x$ 是负数且不是整数，可以写成 $x=-k-t$ ，其中 $k$ 是非负整数，且 $0<t<1$ 。此时 $\lfloor|x|\rfloor=k$ ，而 $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ ，所以 $f(x)=-1$ 。

因此值域为 $\{-1,0\}$ 。

所以答案是 A。

If $x\ge0$ , then $\lfloor|x|\rfloor=\lfloor x\rfloor=|\lfloor x\rfloor|$ , so $f(x)=0$ .

If $x$ is a negative integer, both terms equal $|x|$ , so again $f(x)=0$ .

If $x$ is negative and not an integer, write $x=-k-t$ , where $k$ is a nonnegative integer and $0<t<1$ . Then $\lfloor|x|\rfloor=k$ , while $|\lfloor x\rfloor|=|-k-1|=k+1$ , so $f(x)=-1$ .

Therefore, the range is $\{-1,0\}.$

Thus, the answer is A .

2019 AMC 10B 第 9 题

答案：A

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题