Question

令 $N$ 为 $42$ 的所有正整数因数的乘积。 $N$ 的个位数字是多少？

Let $N$ be the product of all the positive integer divisors of $42.$ What is the units digit of $N?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

答案：D

知识点：因数个数个位数字配对与分组

难度评级：1310

小提示：

一个有 $d$ 个因数的数，其所有因数的乘积等于这个数的 $\tfrac{d}{2}$ 次方。

A number with $d$ divisors has divisor product equal to itself raised to the $\tfrac{d}{2}$ power

大提示：

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ 有 $8$ 个因数，所以 $N = 42^4$ ；只需跟踪个位数字。

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ has $8$ divisors, so $N = 42^4;$ track only the units digit

解答：

因为 $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ 有 $(1+1)^3 = 8$ 个因数，可以把每个因数和它的互补因数配对，所以 $N = 42^{\frac{8}{2}} = 42^4$ 。只看个位数字， $2^4 = 16$ 的个位是 $6$ ，所以 $42^4$ 也是如此。因此正确答案是 D。

Since $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ has $(1+1)^3 = 8$ divisors, we can pair each divisor with its complement, so $N = 42^{\frac{8}{2}} = 42^4.$ Only the units digit matters, and $2^4 = 16$ ends in $6,$ so $42^4$ does too. Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10B 第 8 题

答案：D

难度评级：1310

小提示：

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解答：

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