Question

$2015^{2016}-2017$ 的十位数字是多少？

What is the tens digit of $2015^{2016}-2017?$

$\ 0$

$\ 1$

$\ 3$

$\ 5$

$\ 8$

答案：A

知识点：模运算中国剩余定理

难度评级：1420

小提示：

为了得到十位数字，计算这个数模 $100$ 。

Work modulo $100$ to get the tens digit

大提示：

分别使用模 $4$ 和模 $25$ 的同余。

Use congruences modulo $4$ and $25$

解答：

为了求十位数字，先求该数模 $100$ 的余数。先求 $2015^{2016} \mod 100$ ，可用中国剩余定理分别考虑 $\mod 4$ 和 $\mod 25$ 。

有 $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ 因为它是 $25$ 的倍数。

另一方面，底数除以四的余数为负一，所以 $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4\text{。}$

由中国剩余定理可知，这个数同余于 $25 \mod 100$ 。

因此 $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100\text{。}$ 这说明十位数字是 $0$ 。

所以正确答案是 A。

To find the tens digit, we first need to find the number modulo $100.$ First, we can find $2015^{2016} \mod 100.$ We can do this with the Chinese Remainder Theorem by first getting the number $\mod 4$ and then $\mod 25.$

The number $2015^{2016} \equiv 0 \mod 25$ since it is a multiple of $25.$

Then, observe that $2015^{2016} \equiv (-1)^{2016}$ $\equiv 1 \mod 4 .$

By the Chinese remainder theorem, we can get that our number is congruent to $25 \mod 100.$

Therefore, $2015^{2016}-2017$ $\equiv 25 - 17 \mod 100$ $\equiv 8 \mod 100 .$ This means the tens digit is $0.$

Thus, the correct answer is A .

2016 AMC 10B 第 8 题

答案：A

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题