Question

在长方形 $ABCD$ 中， $AD = 1$ ，点 $P$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\overline{DB}$ 和 $\overline{DP}$ 三等分 $\angle ADC$ 。求 $\triangle BDP$ 的周长。

In rectangle $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ is on $\overline{AB},$ and $\overline{DB}$ and $\overline{DP}$ trisect $\angle ADC.$ What is the perimeter of $\triangle BDP?$

$3 + \dfrac{\sqrt3}{3}$

$2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}$

$2 + 2\sqrt2$

$\dfrac{3 + 3\sqrt5}{2}$

$2 + \dfrac{5\sqrt3}{3}$

答案：B

知识点：特殊直角三角形矩形周长

难度评级：1390

小提示：

角 $ADC = 90^\circ$ 被分成三个 $30^\circ$ 的角。

Angle $ADC = 90^\circ$ is split into three $30^\circ$ angles

大提示：

三角形 $ADP$ 和 $ADB$ 都是 $30$ - $60$ - $90$ 直角三角形，且都含有边 $AD = 1$ 。

Triangles $ADP$ and $ADB$ are both $30$ - $60$ - $90$ right triangles with leg $AD = 1$

解答：

直角 $\angle ADC = 90^\circ$ 被三等分成三个 $30^\circ$ 角，所以 $\angle ADP = 30^\circ$ ， $\angle ADB = 60^\circ$ 。

在直角三角形 $ADP$ 中，由 $AD = 1$ 得 $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ ， $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}$ 。

在直角三角形 $ADB$ 中，由 $AD = 1$ 得 $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ ， $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3$ 。

于是 $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}$

$\triangle BDP$ 的周长为 $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3} \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 B。

The right angle $\angle ADC = 90^\circ$ is trisected into three $30^\circ$ angles, so $\angle ADP = 30^\circ$ and $\angle ADB = 60^\circ.$

In right triangle $ADP,$ with $AD = 1,$ we get $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

In right triangle $ADB,$ with $AD = 1,$ we get $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ and $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Then $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

The perimeter of $\triangle BDP$ is $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2000 AMC 10 第 7 题

答案：B

难度评级：1390

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解答：

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