2014 AMC 10A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$10\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}\right)^{-1}$

What is the value of the following expression?

$10\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}\right)^{-1}$

$3$

$8$

$\dfrac{25}{2}$

$\dfrac{170}{3}$

$170$

Respuesta: C

Conceptos:fracción orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Primero suma las fracciones dentro del paréntesis.

Add the fractions inside the parentheses first

Pista grande:

Toma el recíproco antes de multiplicar por $10$ .

Take the reciprocal before multiplying by $10$

Solución:

Calculamos la suma dentro del paréntesis: $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} + \dfrac{1}{10} \\&= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Entonces $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{4}$ y, finalmente, $10 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{25}{2}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We get that $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} + \dfrac{1}{10} \\&= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}$

Then $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{4}$ and then finally, $10 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{25}{2}.$

Thus, C is the correct answer.

2.

El gato de Roy come $\dfrac{1}{3}$ de una lata de comida cada mañana y $\dfrac{1}{4}$ de una lata de comida cada noche. Antes de alimentar a su gato el lunes por la mañana, Roy abrió una caja que contenía $6$ latas de comida para gatos. ¿En qué día de la semana terminó el gato de comerse toda la comida de la caja?

Roy’s cat eats $\dfrac{1}{3}$ of a can of cat food every morning and $\dfrac{1}{4}$ of a can of cat food every evening. Before feeding his cat on Monday morning, Roy opened a box containing $6$ cans of cat food. On what day of the week did the cat finish eating all the cat food in the box?

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Respuesta: C

Conceptos:tasa fracción fecha y hora

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

El gato come $\frac7{12}$ de lata por día completo.

The cat eats $\frac7{12}$ can per full day

Pista grande:

Comprueba en qué día entero el total alcanza por primera vez $6$ latas.

Check the integer day when the total first reaches $6$ cans

Solución:

El gato come $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ de lata de comida por cada día completo. Después de $10$ días completos, ha comido $10\cdot\frac7{12}=\frac{35}{6}$ latas, por lo que queda $\frac16$ de lata.

El gato termina ese resto durante la siguiente comida de la mañana. Contando el lunes como la primera mañana, la undécima mañana es jueves.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The cat eats $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ cans of food each full day. After $10$ full days, it has eaten $10\cdot\frac7{12}=\frac{35}{6}$ cans, leaving $\frac16$ of a can.

The cat finishes that remainder during its next morning feeding. The eleventh morning, counting Monday as the first, is Thursday.

Thus, C is the correct answer.

3.

Bridget hornea $48$ panes para su panadería. Vende la mitad de ellos por la mañana a $\$ 2.50$ cada uno. Por la tarde vende dos tercios de los que le quedan y, como ya no están frescos, cobra solo la mitad del precio. Al final de la tarde vende los panes restantes a un dólar cada uno. A ella le cuesta $\$ 0.75$ hacer cada pan. En dólares, ¿cuál es su ganancia del día?

Bridget bakes $48$ loaves of bread for her bakery. She sells half of them in the morning for $\$ 2.50$ each. In the afternoon she sells two thirds of what she has left, and because they are not fresh, she charges only half price. In the late afternoon she sells the remaining loaves at a dollar each. Each loaf costs $\$ 0.75$ for her to make. In dollars, what is her profit for the day?

$24$

$36$

$44$

$48$

$52$

Respuesta: E

Conceptos:dinero fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Lleva por separado las ventas de la mañana, la tarde y el final de la tarde.

Track morning, afternoon, and late-afternoon sales separately

Pista grande:

Resta el costo total de horneado del ingreso total.

Subtract the total baking cost from the total revenue

Solución:

Por la mañana, Bridget vende $24$ panes por $24\cdot\$2.50=\$60$ .

Le quedan $24$ panes. Por la tarde vende $\frac23\cdot24=16$ panes a mitad de precio, obteniendo $16\cdot\$1.25=\$20$ .

Los $8$ panes restantes se venden por $\$8$ , así que su ingreso es $\$60+\$20+\$8=\$88$ . Su costo es $48\cdot\$0.75=\$36$ .

Su ganancia es $\$88-\$36=\$52$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

In the morning Bridget sells $24$ loaves for $24\cdot\$2.50=\$60$ .

She has $24$ loaves left. In the afternoon she sells $\frac23\cdot24=16$ loaves at half price, earning $16\cdot\$1.25=\$20$ .

The remaining $8$ loaves sell for $\$8$ , so her revenue is $\$60+\$20+\$8=\$88$ . Her cost is $48\cdot\$0.75=\$36$ .

Her profit is $\$88-\$36=\$52$ .

Thus, E is the correct answer.

4.

Caminando por la calle Jane, Ralph pasó frente a cuatro casas en fila, cada una pintada de un color diferente. Pasó por la casa naranja antes que por la roja, y pasó por la casa azul antes que por la amarilla. La casa azul no estaba junto a la amarilla. ¿Cuántos ordenamientos de las casas de colores son posibles?

Walking down Jane Street, Ralph passed four houses in a row, each painted a different color. He passed the orange house before the red house, and he passed the blue house before the yellow house. The blue house was not next to the yellow house. How many orderings of the colored houses are possible?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Analiza por casos según dónde aparece la casa amarilla.

Case on where the yellow house appears

Pista grande:

Usa a la vez la condición de azul antes que amarilla y la de no adyacencia.

Use the blue-before-yellow condition and the no-adjacent condition together

Solución:

El azul debe ir antes que el amarillo, pero no junto a él, así que ocupan las posiciones $(1,3)$ , $(1,4)$ o $(2,4)$ .

En cada caso, el naranja y el rojo ocupan los dos lugares restantes con el naranja antes que el rojo, lo cual queda forzado. Los tres ordenamientos son: naranja, azul, rojo, amarillo; azul, naranja, rojo, amarillo; y azul, naranja, amarillo, rojo.

Hay $3$ ordenamientos posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Blue must come before yellow but not next to it, so they sit in positions $(1,3)$ or $(1,4)$ or $(2,4)$ .

In each case orange and red fill the two remaining spots with orange before red, which is forced. The three orderings are orange, blue, red, yellow; blue, orange, red, yellow; and blue, orange, yellow, red.

There are $3$ possible orderings.

Thus, B is the correct answer.

5.

En una prueba de álgebra, el $10\%$ de los estudiantes obtuvo $70$ puntos, el $35\%$ obtuvo $80$ puntos, el $30\%$ obtuvo $90$ puntos y el resto obtuvo $100$ puntos. ¿Cuál es la diferencia entre la media y la mediana de las calificaciones de los estudiantes en esta prueba?

On an algebra quiz, $10\%$ of the students scored $70$ points, $35\%$ scored $80$ points, $30\%$ scored $90$ points, and the rest scored $100$ points. What is the difference between the mean and the median of the students’ scores on this quiz?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:media mediana (datos)

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Halla la mediana a partir de los porcentajes acumulados.

Find the median from the cumulative percentages

Pista grande:

Calcula la media ponderada usando los porcentajes de cada calificación.

Compute the weighted mean using the score percentages

Solución:

La mediana es $90$ , porque el $45\%$ de los estudiantes obtuvo menos de $90$ y el $25\%$ obtuvo más de $90$ .

La media es $0.10\cdot70$ $+0.35\cdot80$ $+0.30\cdot90$ $+0.25\cdot100=87$ .

La diferencia es $90-87=3$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The median is $90$ , because $45\%$ of the students scored below $90$ and $25\%$ scored above $90$ .

The mean is $0.10\cdot70$ $+0.35\cdot80$ $+0.30\cdot90$ $+0.25\cdot100=87$ .

The difference is $90-87=3$ .

Thus, C is the correct answer.

6.

Supón que $a$ vacas dan $b$ galones de leche en $c$ días. A este ritmo, ¿cuántos galones de leche darán $d$ vacas en $e$ días?

Suppose that $a$ cows give $b$ gallons of milk in $c$ days. At this rate, how many gallons of milk will $d$ cows give in $e$ days?

$\dfrac{bde}{ac}$

$\dfrac{ac}{bde}$

$\dfrac{abde}{c}$

$\dfrac{bcde}{a}$

$\dfrac{abc}{de}$

Respuesta: A

Conceptos:razón y proporción tasa

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Halla la tasa de producción por vaca y por día.

Find the production rate per cow per day

Pista grande:

Escala por $d$ vacas y $e$ días.

Scale by $d$ cows and $e$ days

Solución:

Debemos multiplicar $b$ por $\dfrac{d}{a}$ para tener en cuenta el nuevo número de vacas.

Luego debemos multiplicar por $\dfrac{e}{c}$ para tener en cuenta el nuevo tiempo disponible.

Esto nos da como respuesta final $b \cdot \dfrac{d}{a} \cdot \dfrac{e}{c} = \dfrac{bde}{ac}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We have to multiply $b$ by $\dfrac{d}{a}$ to account for the new number of cows.

We then have to multiply by $\dfrac{e}{c}$ to account for the new time that we have.

This gives us a final answer of $b \cdot \dfrac{d}{a} \cdot \dfrac{e}{c} = \dfrac{bde}{ac}.$

Thus, A is the correct answer.

7.

Los números reales no nulos $x,$ $y,$ $a,$ y $b$ satisfacen $x < a$ y $y < b.$ ¿Cuántas de las siguientes desigualdades deben ser verdaderas?

(I) $x + y \lt a + b$

(II) $x - y \lt a - b$

(III) $xy \lt ab$

(IV) $\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}$

Nonzero real numbers $x,$ $y,$ $a,$ and $b$ satisfy $x < a$ and $y < b.$ How many of the following inequalities must be true?

(I) $x + y \lt a + b$

(II) $x - y \lt a - b$

(III) $xy \lt ab$

(IV) $\dfrac{x}{y} \lt \dfrac{a}{b}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sumar desigualdades con el mismo sentido es válido.

Adding inequalities with the same direction is safe

Pista grande:

Halla contraejemplos para las demás desigualdades propuestas.

Find counterexamples for the other proposed inequalities

Solución:

Sumando las dos desigualdades obtenemos

$x + y \lt a + b,$ lo que muestra que (I) es correcta.

No se pueden restar desigualdades, así que (II) no es necesariamente verdadera.

Considera $x = 1,$ $y = 1,$ $a = 2,$ y $b = 3$ como contraejemplo. Esto nos daría $0 \lt -1.$

(III) tampoco es siempre verdadera, ya que $x$ e $y$ podrían ser números negativos.

Sea $x = -3,$ $y = -2,$ $a = 1,$ y $b = 1.$ Entonces $xy = 6$ y $ab = 1$ , lo que muestra que (III) es falsa.

Lo mismo ocurre con (IV) . Usando los mismos valores anteriores, tenemos $\dfrac{x}{y} = 1.5$ y $\dfrac{a}{b} = 1.$

Esto muestra que (I) es la única afirmación verdadera.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Adding the two inequalities together gets us

$x + y \lt a + b,$ which shows that (I) is correct.

One cannot subtract inequalities, which means that (II) is not necessarily true.

Consider $x = 1,$ $y = 1,$ $a = 2,$ and $b = 3$ as a counter-example. This would give us $0 \lt -1.$

(III) is also not always true, since $x$ and $y$ might be negative numbers.

Let $x = -3,$ $y = -2,$ $a = 1,$ and $b = 1.$ Then $xy = 6$ and $ab = 1$ which shows that (III) is wrong.

The same thing occurs with (IV) . Using the same values as above, we have $\dfrac{x}{y} = 1.5$ and $\dfrac{a}{b} = 1.$

This shows that (I) is the only true statement.

Thus, B is the correct answer.

8.

¿Cuál de los siguientes números es un cuadrado perfecto?

Which of the following numbers is a perfect square?

$\dfrac{14!15!}2$

$\dfrac{15!16!}2$

$\dfrac{16!17!}2$

$\dfrac{17!18!}2$

$\dfrac{18!19!}2$

Respuesta: D

Conceptos:factorial cuadrado perfecto factorización en primos

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe cada opción como $\frac{n!(n+1)!}{2}$ .

Write each choice as $\frac{n!(n+1)!}{2}$

Pista grande:

Solo hace falta que $\frac{n+1}{2}$ sea un cuadrado.

Only $\frac{n+1}{2}$ needs to be a square

Solución:

Observa que todas las opciones tienen la forma $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$ Como $(n!)^2$ es un cuadrado, necesitamos que $\dfrac{n + 1}{2}$ también lo sea.

Esto significa que $n + 1$ debe ser el doble de un cuadrado perfecto. La única opción es $n + 1 = 18,$ lo que nos da $n = 17.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that all of these answer choices are of the form $\dfrac{n!(n + 1)!}{2} = \dfrac{(n!)^2(n + 1)}{2}.$ We have that $(n!)^2$ is square, so we need $\dfrac{n + 1}{2}$ to be square as well.

This means that $n + 1$ must be twice a perfect square. The only choice we have is $n + 1 = 18,$ which gives us $n = 17.$

Thus, D is the correct answer.

9.

Los dos catetos de un triángulo rectángulo, que también son alturas, miden $2\sqrt3$ y $6.$ ¿Cuánto mide la tercera altura del triángulo?

The two legs of a right triangle, which are altitudes, have lengths $2\sqrt3$ and $6.$ How long is the third altitude of the triangle?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:altura área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Usa los dos catetos dados para hallar el área.

Use the two given legs to find the area

Pista grande:

Usa la hipotenusa como base para la tercera altura.

Use the hypotenuse as the base for the third altitude

Solución:

El área del triángulo es $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}.$ La longitud de la hipotenusa es $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Trazando la altura $h,$ desde el vértice hasta la hipotenusa, obtenemos $\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $h = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We get that the area of the triangle is $\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}.$ The length of the hypotenuse is $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Dropping the altitude, $h,$ from the vertex to the hypotenuse, we get that $\dfrac{1}{2} \cdot h \cdot 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $h = 3.$

Thus, C is the correct answer.

10.

Cinco enteros positivos consecutivos que comienzan con $a$ tienen promedio $b.$ ¿Cuál es el promedio de $5$ enteros consecutivos que comienzan con $b$ ?

Five positive consecutive integers starting with $a$ have average $b.$ What is the average of $5$ consecutive integers that start with $b?$

$a+3$

$a+4$

$a+5$

$a+6$

$a+7$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

El promedio de cinco enteros consecutivos que comienzan en $x$ es $x+2$ .

The average of five consecutive integers starting at $x$ is $x+2$

Pista grande:

Aplica esa regla primero a $a$ y luego a $b$ .

Apply that rule first to $a$ , then to $b$

Solución:

Observa que el promedio de $5$ números consecutivos que comienzan con $x$ es $\dfrac{5x + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = x + 2.$

Esto significa que el promedio de $5$ enteros consecutivos que comienzan con $a$ es $a + 2,$ que sabemos que es $b.$

Además, el promedio de $5$ números consecutivos que comienzan con $b$ es $b + 2 = a + 4.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the average of $5$ consecutive numbers starting with $x$ is $\dfrac{5x + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = x + 2.$

This means that the average of $5$ consecutive integers starting with $a$ is $a + 2,$ which we know is $b.$

Furthermore, the average of $5$ consecutive numbers starting with $b$ is $b + 2 = a + 4.$

Thus, B is the correct answer.

11.

Un cliente que planea comprar un electrodoméstico tiene tres cupones, de los cuales solo puede usar uno:

Cupón $1:$ $10\%$ de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es al menos $\$50$

Cupón $2:$ $\$ 20$ de descuento sobre el precio de lista si el precio de lista es al menos $\$100$

Cupón $3:$ $18\%$ de descuento sobre la cantidad en que el precio de lista excede $\$100$

¿Para cuál de los siguientes precios de lista ofrecerá el cupón $1$ una reducción de precio mayor que la del cupón $2$ o la del cupón $3$ ?

A customer who intends to purchase an appliance has three coupons, only one of which may be used:

Coupon $1:$ $10\%$ off the listed price if the listed price is at least $\$50$

Coupon $2:$ $\$ 20$ off the listed price if the listed price is at least $\$100$

Coupon $3:$ $18\%$ off the amount by which the listed price exceeds $\$100$

For which of the following listed prices will coupon $1$ offer a greater price reduction than either coupon $2$ or coupon $3?$

$\$ 179.95$

$\$ 199.95$

$\$ 219.95$

$\$ 239.95$

$\$ 259.95$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad porcentaje

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Compara el descuento real en dólares, no el precio final.

Compare the actual dollar discount, not the final price

Pista grande:

Resuelve las desigualdades donde el cupón $1$ supera a los cupones $2$ y $3.$

Solve the inequalities where coupon $1$ beats coupons $2$ and $3$

Solución:

Analicemos qué hacen estos cupones a un precio arbitrario $x.$

El cupón $1$ cambia este precio a $0.9x.$ El cupón $2$ lo cambia a $x - 20.$ El cupón $3$ lo cambia a $x - 0.18(x - 100) = 0.82x + 18.$

Queremos que se cumplan $0.9x \lt x - 20$ y $0.9x \lt 0.82x + 18.$ Al resolver ambas desigualdades obtenemos $200 \lt x \lt 225.$

La única opción que funciona es $\$ 219.95.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us analyze what these coupons do to an arbitrary price, $x.$

Coupon $1$ changes this price to $0.9x.$ Coupon $2$ changes the price to $x - 20.$ Coupon $3$ changes the price to $x - 0.18(x - 100) = 0.82x + 18.$

We want $0.9x \lt x - 20$ and $0.9x \lt 0.82x + 18.$ Solving both gives us $200 \lt x \lt 225.$

The only answer choice that works is $\$ 219.95.$

Thus, C is the correct answer.

12.

Un hexágono regular tiene lado $6.$ Se trazan arcos congruentes de radio $3$ con centro en cada uno de los vértices, creando sectores circulares como se muestra. La región dentro del hexágono pero fuera de los sectores está sombreada como se muestra. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

A regular hexagon has side length $6.$ Congruent arcs with radius $3$ are drawn with the center at each of the vertices, creating circular sectors as shown. The region inside the hexagon but outside the sectors is shaded as shown. What is the area of the shaded region?

$27\sqrt{3}-9\pi$

$27\sqrt{3}-6\pi$

$54\sqrt{3}-18\pi$

$54\sqrt{3}-12\pi$

$108\sqrt{3}-9\pi$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular sector circular área

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Resta los seis sectores circulares del área del hexágono.

Subtract the six circular sectors from the hexagon area

Pista grande:

Cada sector tiene ángulo central $120^\circ$ .

Each sector has central angle $120^\circ$

Solución:

Observa que podemos dividir el hexágono en $6$ triángulos equiláteros, cada uno de lado $6.$

Recuerda que el área de un triángulo equilátero de lado $s$ es $\dfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}.$

Esto significa que el área del hexágono es $6 \cdot \dfrac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}.$

Como cada ángulo interior de un hexágono regular es $120^{\circ},$ los seis sectores forman $2$ círculos completos.

Esto significa que el área de todos los sectores es $2 \cdot 3^2 \pi = 18\pi.$

El área de la región sombreada es entonces $54\sqrt{3} - 18\pi.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that we can split the hexagon up into $6$ equilateral triangles each with side length $6.$

Recall that the area of an equilateral triangle with side length $s$ is $\dfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}.$

This means that the area of the hexagon is $6 \cdot \dfrac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}.$

Since each interior angle of a regular hexagon is $120^{\circ},$ the six sectors form $2$ full circles.

This means that the area of all the sectors is $2 \cdot 3^2 \pi = 18\pi.$

The area of the shaded region is then $54\sqrt{3} - 18\pi.$

Thus, C is the correct answer.

13.

El $\triangle ABC$ equilátero tiene lado $1,$ y los cuadrados $ABDE,$ $BCHI,$ $CAFG$ están fuera del triángulo. ¿Cuál es el área del hexágono $DEFGHI$ ?

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $1,$ and squares $ABDE,$ $BCHI,$ $CAFG$ lie outside the triangle. What is the area of hexagon $DEFGHI?$

$\dfrac{12+3\sqrt3}4$

$\dfrac92$

$3+\sqrt3$

$\dfrac{6+3\sqrt3}2$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Descompón el hexágono en el triángulo original, tres cuadrados y tres triángulos exteriores.

Decompose the hexagon into the original triangle, three squares, and three outer triangles

Pista grande:

Cada triángulo exterior tiene lados $1,1$ con ángulo comprendido $120^\circ$ .

Each outer triangle has sides $1,1$ with included angle $120^\circ$

Solución:

Podemos calcular las áreas de todas las piezas y luego sumarlas.

El área del triángulo equilátero central es $\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

El área total de todos los cuadrados es $3 \cdot 1^2 = 3.$

También tenemos que $\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}$ $= 120^{\circ}.$

Además, $AE=AF=1$ y $\angle EAF=120^\circ$ . Al trazar la altura desde $A$ , vemos que $EF=\sqrt3$ y que la altura es $\frac12$ , por lo que $[EAF]=\frac{\sqrt3}{4}$ . Los otros dos triángulos exteriores tienen la misma área. Así, su área combinada es $\frac{3\sqrt3}{4}$ .

El área total es $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can find the areas of all the individual pieces and then add them up together.

The area of the center equilateral triangle is $\dfrac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.$

We have that the areas of all the squares is $3 \cdot 1^2 = 3.$

We also have that $\angle EAF = 360^{\circ} - 60^{\circ} - 2 \cdot 90^{\circ}$ $= 120^{\circ}.$

Also, $AE=AF=1$ and $\angle EAF=120^\circ$ . Dropping the altitude from $A$ shows that $EF=\sqrt3$ and the altitude is $\frac12$ , so $[EAF]=\frac{\sqrt3}{4}$ . The other two outer triangles have the same area. Thus their combined area is $\frac{3\sqrt3}{4}$ .

The total area is then $\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + 3 = 3 + \sqrt{3}.$

Thus, C is the correct answer.

14.

Las intersecciones con el eje $y$ , $P$ y $Q,$ de dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto $A(6,8)$ suman cero. ¿Cuál es el área del $\triangle APQ$ ?

The $y$ -intercepts, $P$ and $Q,$ of two perpendicular lines intersecting at the point $A(6,8)$ have a sum of zero. What is the area of $\triangle APQ?$

$45$

$48$

$54$

$60$

$72$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica mediana (geometría)área del triángulo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sean las intersecciones con el eje y iguales a $b$ y $-b$ .

Let the y-intercepts be $b$ and $-b$

Pista grande:

Usa pendientes perpendiculares que pasan por $(6,8)$ .

Use perpendicular slopes through $(6,8)$

Solución:

Las intersecciones con el eje $y$ están a la misma distancia del origen porque sus valores suman $0.$

Sea esta distancia $z.$ Como las dos rectas dadas son perpendiculares, $\triangle APQ$ es rectángulo en $A$ . El origen es el punto medio de su hipotenusa $PQ$ , así que está a la misma distancia de $P$ , $Q$ y $A$ . Por tanto, la distancia de $A$ al origen también es $z$ .

Por la fórmula de distancia, $z = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ . La altura desde $A$ hasta $\overline{PQ}$ es $6$ (es simplemente la coordenada $x$ de $A$ ).

También sabemos que $PQ = 2 \cdot 10 = 20,$ por lo que el área es $[APQ] = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 20 = 60.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We have that the $y$ -intercepts are an equal distance from the origin since their values sum to $0.$

Let this distance be $z.$ Because the two given lines are perpendicular, $\triangle APQ$ is right at $A$ . The origin is the midpoint of its hypotenuse $PQ$ , so it is equidistant from $P$ , $Q$ , and $A$ . Hence the distance from $A$ to the origin is also $z$ .

We then know that $z = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ by the distance formula. We know the altitude from $A$ to $\overline{PQ}$ is $6$ (it is just the $x$ -value of $A$ ).

We also know that $PQ = 2 \cdot 10 = 20,$ which tells us that the area $[APQ] = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 20 = 60.$

Thus, D is the correct answer.

15.

David conduce desde su casa hasta el aeropuerto para tomar un vuelo. Conduce $35$ millas en la primera hora, pero se da cuenta de que llegará $1$ hora tarde si continúa a esta velocidad. Aumenta su velocidad en $15$ millas por hora durante el resto del camino al aeropuerto y llega $30$ minutos antes. ¿A cuántas millas está el aeropuerto de su casa?

David drives from his home to the airport to catch a flight. He drives $35$ miles in the first hour, but realizes that he will be $1$ hour late if he continues at this speed. He increases his speed by $15$ miles per hour for the rest of the way to the airport and arrives $30$ minutes early. How many miles is the airport from his home?

$140$

$175$

$210$

$245$

$280$

Respuesta: C

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Compara el plan original demasiado lento con el plan más rápido.

Compare the original too-slow schedule with the faster schedule

Pista grande:

El viaje más rápido ahorra $1.5$ horas en total.

The faster trip saves $1.5$ hours overall

Solución:

Observa que después de una hora David conduce a $50$ millas por hora.

Si el aeropuerto está a $x$ millas de la casa de David, la diferencia entre los dos tiempos de viaje es una hora y media: $\dfrac x{35} - \left(1+\dfrac{x-35}{50}\right) = \dfrac 32$ Resolvemos esta ecuación: $\begin{aligned} \dfrac x{35} - \left(1+\dfrac{x-35}{50}\right) &= \dfrac 32\\ \dfrac x{35} - \dfrac{x-35+50}{50} &= \dfrac 32\\ 10x - 7(x+15)&= 525\\ 10x - 7x-105&= 525\\ 3x&= 630\\ x&=210 \end{aligned}$ Por lo tanto, el aeropuerto está a $x=210$ millas de la casa de David.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that David drives at $50$ miles per hour after one hour.

Then, if the airport is $x$ miles from David’s house, we know that: $\dfrac x{35} - \left(1+\dfrac{x-35}{50}\right) = \dfrac 32$ We solve this equation as follows: $\begin{aligned} \dfrac x{35} - \left(1+\dfrac{x-35}{50}\right) &= \dfrac 32\\ \dfrac x{35} - \dfrac{x-35+50}{50} &= \dfrac 32\\ 10x - 7(x+15)&= 525\\ 10x - 7x-105&= 525\\ 3x&= 630\\ x&=210 \end{aligned}$ Therefore, the airport is $x=210$ miles from David’s house.

Thus, C is the correct answer.

16.

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=1,$ $BC=2,$ y los puntos $E,$ $F,$ y $G$ son los puntos medios de $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{AD},$ respectivamente. El punto $H$ es el punto medio de $\overline{GE}.$ ¿Cuál es el área de la región sombreada?

In rectangle $ABCD,$ $AB=1,$ $BC=2,$ and points $E,$ $F,$ and $G$ are midpoints of $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{AD},$ respectively. Point $H$ is the midpoint of $\overline{GE}.$ What is the area of the shaded region?

$\dfrac1{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{18}$

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

$\dfrac16$

Respuesta: E

Conceptos:rectángulo punto medio semejanza

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa los triángulos semejantes que forman las rectas que se cruzan.

Use similar triangles created by the crossing lines

Pista grande:

El área del cometa sombreado es el doble del área de un triángulo pequeño.

The shaded kite area is twice one small triangle area

Solución:

Podemos hallar el área de la región sombreada calculando el área del $\triangle DHC$ y restando los dos triángulos no sombreados.

Prolonga $\overline{DH}$ hasta que llegue a $B.$ Sea la intersección de $\overline{DB}$ y $\overline{AF}$ el punto $X.$

Tenemos que $\triangle DXF\sim\triangle BXA.$ Como $AB=2\cdot DF$ , la proporcionalidad de lados correspondientes da $BX=2\cdot DX$ .

Esto significa que $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,$ por lo que la altura del $\triangle DXF$ es $\dfrac{1}{3}$ de la altura del rectángulo.

El área del $\triangle DXF$ es entonces $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

El área de los dos triángulos no sombreados es entonces $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$ El área del $\triangle DHC$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

El área de la región sombreada es entonces $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can find the area of the shaded region by finding the area of $\triangle DHC$ and subtracting out the two unshaded triangles.

Extend $\overline{DH}$ so that it hits $B.$ Let the intersection of $\overline{DB}$ and $\overline{AF}$ be $X.$

We have that $\triangle DXF\sim\triangle BXA.$ Since $AB=2\cdot DF$ , corresponding sides give $BX=2\cdot DX$ .

This means that $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,$ which means that the altitude of $\triangle DXF$ is $\dfrac{1}{3}$ the height of the rectangle.

The area of $\triangle DXF$ is then $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

The area of both unshaded triangles is then $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$ The area of $\triangle DHC$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

The area of the shaded region is then $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.$

Thus, E is the correct answer.

17.

Se lanzan tres dados justos de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores mostrados en dos de los dados sumen el valor mostrado en el dado restante?

Three fair six-sided dice are rolled. What is the probability that the values shown on two of the dice sum to the value shown on the remaining die?

$\dfrac16$

$\dfrac{13}{72}$

$\dfrac7{36}$

$\dfrac5{24}$

$\dfrac29$

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Enumera los pares ordenados de dados posibles según su suma.

List possible ordered dice pairs by their sum

Pista grande:

Recuerda contar las ternas ordenadas de resultados de los dados.

Remember to count ordered triples of dice rolls

Solución:

Observa que si un dado es la suma de los otros dos, entonces es estrictamente mayor que los otros dos dados.

Hay $3$ formas de elegir cuál de los dados es la suma de los otros dos, lo que lo hace el mayor.

Este dado no puede ser $1,$ ya que no hay forma de sumar dos enteros positivos para obtener $1.$

Hay una probabilidad de $\dfrac{1}{6}$ de que este dado sea cualquiera de los demás números.

Hay $1$ forma de obtener una suma de $2,$ $2$ formas para $3,$ $3$ para $4,$ $4$ para $5,$ y $5$ para $6.$

Tomamos estas cantidades de formas sobre un total de $6^2 = 36$ posibilidades. La probabilidad buscada es entonces $3 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{36} = \dfrac{5}{24}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that if one die is the sum of the other two dice, then it is strictly greater than the other two dice.

There are $3$ ways to choose which of the dice is the sum of the other two, which makes it the greatest.

This die cannot be $1,$ since there is no way to sum two positive integers to get $1.$

There is a $\dfrac{1}{6}$ chance that this die is any of the other numbers.

There is $1$ way to get a sum of $2,$ $2$ ways for $3,$ $3$ for $4,$ $4$ for $5,$ and $5$ for $6.$

We take these numbers of ways out of a total of $6^2 = 36$ possibilities. The desired probability is then $3 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{36} = \dfrac{5}{24}.$

Thus, D is the correct answer.

18.

Un cuadrado en el plano coordenado tiene vértices cuyas coordenadas $y$ son $0,$ $1,$ $4,$ y $5.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

A square in the coordinate plane has vertices whose $y$ -coordinates are $0,$ $1,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the square?

$16$

$17$

$25$

$26$

$27$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica cuadrado (geometría)vector

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Elige vértices adyacentes cuyas coordenadas y difieran en $1$ .

Choose adjacent vertices whose y-coordinates differ by $1$

Pista grande:

Un vector de lado rotado $90^\circ$ produce un cambio en y de $4$ .

A side vector rotated $90^\circ$ creates a y-change of $4$

Solución:

Los vértices opuestos de un cuadrado tienen el mismo promedio de coordenadas $y$ . Por tanto, las parejas opuestas deben tener coordenadas $y$ iguales a $(0,5)$ y $(1,4)$ , las dos parejas con la misma suma. En particular, el vértice con coordenada $y$ igual a $0$ es adyacente a los vértices con coordenadas $y$ iguales a $1$ y $4$ .

Sea un vértice $A=(0,0)$ , y sea su vértice adyacente con coordenada $y$ igual a $1$ el punto $B=(x,1)$ , con $x>0$ .

Al rotar el vector de lado $(x,1)$ en $90^\circ$ , obtenemos el siguiente vector de lado $(-1,x)$ , de modo que otro vértice tiene coordenada vertical $x$ . Las coordenadas verticales restantes son $4$ y $5$ , así que $x=4$ .

El cuadrado de la longitud del lado es $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , que es el área del cuadrado.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Opposite vertices of a square have the same average $y$ -coordinate. Thus the opposite pairs must have $y$ -coordinates $(0,5)$ and $(1,4)$ , the two pairs with equal sum. In particular, a vertex with $y$ -coordinate $0$ is adjacent to vertices with $y$ -coordinates $1$ and $4$ .

Let one vertex be $A=(0,0)$ , and let its adjacent vertex with $y$ -coordinate $1$ be $B=(x,1)$ with $x>0$ .

Rotating the side vector $(x,1)$ by $90^\circ$ gives the next side vector $(-1,x)$ , so another vertex has y-coordinate $x$ . The remaining y-coordinates are $4$ and $5$ , hence $x=4$ .

The side length squared is $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , which is the area of the square.

Thus, B is the correct answer.

19.

Cuatro cubos con aristas de longitud $1,$ $2,$ $3,$ y $4$ se apilan como se muestra. ¿Cuál es la longitud de la parte de $\overline{XY}$ contenida en el cubo de arista $3$ ?

Four cubes with edge lengths $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ are stacked as shown. What is the length of the portion of $\overline{XY}$ contained in the cube with edge length $3?$

$\dfrac{3\sqrt{33}}5$

$2\sqrt3$

$\dfrac{2\sqrt{33}}3$

$4$

$3\sqrt2$

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia semejanza

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

El segmento completo $XY$ tiene un cambio vertical de $10$ .

The whole segment $XY$ has vertical change $10$

Pista grande:

La parte dentro del cubo de lado $3$ es la misma fracción del segmento completo que su cambio vertical.

The part inside the side- $3$ cube is the same fraction of the full segment as its vertical change

Solución:

La distancia de $X$ a $Y$ en la dirección del eje $z$ es $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Las distancias en las direcciones de los ejes $x$ e $y$ son ambas $4.$

Por tanto, $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}.$

Usando coordenadas $X=(0,0,10)$ y $Y=(4,4,0)$ , la recta corta las caras superior e inferior del cubo de lado $3$ en $(\frac65,\frac65,7)$ y $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ . Ambos puntos están dentro de esas caras cuadradas, así que la porción dentro del cubo realmente tiene cambio vertical $3$ .

Sea la longitud buscada $x.$ Usando triángulos semejantes, tenemos que $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The distance between $X$ and $Y$ with respect to the $z$ -axis is $1 + 2 + 3 + 4 = 10.$

Both the distances along the $x$ and $y$ -axes are $4.$

Then $XY = \sqrt{4^2 + 4^2 + 10^2} = 2\sqrt{33}.$

Using coordinates $X=(0,0,10)$ and $Y=(4,4,0)$ , the line meets the top and bottom of the side- $3$ cube at $(\frac65,\frac65,7)$ and $(\frac{12}5,\frac{12}5,4)$ . Both points lie inside those square faces, so the portion inside this cube really does have vertical change $3$ .

Let the desired length be $x.$ Then using similar triangles, we have that $\dfrac{x}{3} = \dfrac{2\sqrt{33}}{10}$ $x = \dfrac{3\sqrt{33}}{5}.$

Thus, A is the correct answer.

20.

El producto $(8)(888\dots8),$ donde el segundo factor tiene $k$ dígitos, es un entero cuyos dígitos suman $1000.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones inducción

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Multiplica algunos ejemplos para ver el patrón de los dígitos.

Multiply a few examples to see the digit pattern

Pista grande:

Para $k\ge3$ , el producto tiene $k-2$ dígitos iguales a $1$ .

For $k\ge3$ , the product has $k-2$ digits equal to $1$

Solución:

El número de $k$ dígitos formado enteramente por $8$ es $8\frac{10^k-1}{9}$ , así que el producto es $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ Para $k\ge2$ , este es el número cuyos dígitos son $7$ , seguido por $k-2$ unos, y luego $0,4$ .

Por tanto, para cualquier $k \geq 3,$ la suma de los dígitos del producto es $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finalmente, obtenemos $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $k$ -digit number made entirely of $8$ s is $8\frac{10^k-1}{9}$ , so the product is $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ For $k\ge2$ , this is the number whose digits are $7$ , followed by $k-2$ ones, then $0,4$ .

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que las gráficas de $y=ax+5$ y $y=3x+b$ cortan al eje $x$ en el mismo punto. ¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas $x$ de estos puntos de intersección?

Positive integers $a$ and $b$ are such that the graphs of $y=ax+5$ and $y=3x+b$ intersect the $x$ -axis at the same point. What is the sum of all possible $x$ -coordinates of these points of intersection?

$-20$

$-18$

$-15$

$-12$

$-8$

Respuesta: E

Conceptos:ecuación lineal factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Iguala las dos intersecciones con el eje x.

Set both x-intercepts equal

Pista grande:

Los pares de factores enteros positivos de $15$ dan todas las posibilidades.

Positive integer factor pairs of $15$ give all possibilities

Solución:

Observa que las rectas cortan al eje $x$ cuando $y = 0.$ Esto nos da $0 = ax + 5$ y $0 = 3x + b,$ que al resolver dan $x = -\dfrac{5}{a}$ y $x = -\dfrac{b}{3}.$

Igualando ambas, tenemos $\dfrac{5}{a} = \dfrac{b}{3}$ $ab = 15.$

Sabemos que $a$ y $b$ son positivos, lo que significa que los únicos pares de valores $(a, b)$ que satisfacen la ecuación anterior son $(1, 15),$ $(3, 5),$ $(5, 3),$ $(15, 1).$

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones obtenemos los valores de $x$ : $x = -5, -\dfrac{5}{3}, -1, -\dfrac{1}{3}.$ La suma de todos ellos es $-8.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that the lines intersect the $x$ -axis when $y = 0.$ This gives us $0 = ax + 5$ and $0 = 3x + b,$ which when solved gives us $x = -\dfrac{5}{a}$ and $x = -\dfrac{b}{3}.$

Setting these equal to each other, we have $\dfrac{5}{a} = \dfrac{b}{3}$ $ab = 15.$

We know that $a$ and $b$ are positive, which means that the only pairs of values $(a, b)$ that satisfy the above equation are $(1, 15),$ $(3, 5),$ $(5, 3),$ $(15, 1).$

Plugging these values back into the equations gives us $x$ -values of $x = -5, -\dfrac{5}{3}, -1, -\dfrac{1}{3}.$ The sum of all these values is $-8.$

Thus, E is the correct answer.

22.

En el rectángulo $ABCD,$ $\overline{AB}=20$ y $\overline{BC}=10.$ Sea $E$ un punto sobre $\overline{CD}$ tal que $\angle CBE=15^\circ.$ ¿Cuánto vale $\overline{AE}$ ?

In rectangle $ABCD,$ $\overline{AB}=20$ and $\overline{BC}=10.$ Let $E$ be a point on $\overline{CD}$ such that $\angle CBE=15^\circ.$ What is $\overline{AE}?$

$\dfrac{20\sqrt3}3$

$10\sqrt3$

$18$

$11\sqrt3$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo rectángulo especial triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Construye un punto útil que forme un triángulo $30$ - $60$ - $90$ .

Construct a helpful point making a $30$ - $60$ - $90$ triangle

Pista grande:

Muestra que el punto construido es el mismo que $E$ .

Show the constructed point is the same as $E$

Solución:

Sea $E'$ el punto sobre $\overline{CD}$ tal que $AE'=AB=20$ .

Como $AD=10$ , el triángulo $ADE'$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ , así que $\angle DAE'=60^\circ$ y $\angle BAE'=30^\circ$ .

Además $AE'=AB$ , por lo que el triángulo $ABE'$ es isósceles. Su ángulo en el vértice $A$ es $30^\circ$ , así que cada ángulo de la base es $75^\circ$ .

Por lo tanto $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ , así que $E'=E$ , y $AE=20$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $E'$ be the point on $\overline{CD}$ such that $AE'=AB=20$ .

Since $AD=10$ , triangle $ADE'$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle, so $\angle DAE'=60^\circ$ and $\angle BAE'=30^\circ$ .

Also $AE'=AB$ , so triangle $ABE'$ is isosceles. Its vertex angle at $A$ is $30^\circ$ , so each base angle is $75^\circ$ .

Therefore $\angle CBE'=90^\circ-75^\circ=15^\circ$ , so $E'=E$ , and $AE=20$ .

Thus, E is the correct answer.

23.

Una hoja rectangular de papel cuya longitud es $\sqrt3$ veces el ancho tiene área $A.$ El papel se divide en tres secciones iguales a lo largo de los lados largos opuestos, y luego se traza una línea punteada desde el primer divisor hasta el segundo divisor del lado opuesto, como se muestra. Después el papel se dobla plano a lo largo de esta línea punteada para crear una nueva figura con área $B.$ ¿Cuál es la razón $B:A$ ?

A rectangular piece of paper whose length is $\sqrt3$ times the width has area $A.$ The paper is divided into three equal sections along the opposite lengths, and then a dotted line is drawn from the first divider to the second divider on the opposite side as shown. The paper is then folded flat along this dotted line to create a new shape with area $B.$ What is the ratio $B:A?$

$1:2$

$3:5$

$2:3$

$3:4$

$4:5$

Respuesta: C

Conceptos:plegado de papel triángulo equilátero área

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Escala el rectángulo a ancho $1$ .

Scale the rectangle to width $1$

Pista grande:

El doblez crea triángulos equiláteros de solapamiento.

The fold creates equilateral overlap triangles

Solución:

Sin pérdida de generalidad, sea el ancho del rectángulo $1$ y la longitud $\sqrt3.$

Traza la recta perpendicular al punto medio del doblez, como se muestra a continuación.

Observa que $QR = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ y $QT = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}}.$ Esto nos dice que $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3} = QR.$ Por tanto, $\triangle QRT$ es equilátero. De igual manera, $\triangle RTS$ es equilátero, de modo que los dos triángulos son congruentes.

Esto significa que, después de doblar el rectángulo, esta área queda solapada. El área del rectángulo es $1 \cdot \sqrt3 = \sqrt3.$ La longitud del lado del triángulo es $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ Su área es $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{3}.$ El área de la figura doblada es $\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ La razón buscada es $\dfrac{2\sqrt3}{3} \div \sqrt3 = \dfrac{2}{3}.$ Por tanto, $B:A=2:3$ . Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

WLOG, let the width of the rectangle be $1$ and the length be $\sqrt3.$

Draw the line perpendicular to the midpoint of the fold, as shown below.

Note that $QR = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $QT = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}}.$ This tells us $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3} = QR.$ This means that $\triangle QRT$ is equilateral. Similarly, $\triangle RTS$ is equilateral. This makes the two triangles congruent.

This means that after the rectangle gets folded, this area will be overlapped. The area of the rectangle is $1 \cdot \sqrt3 = \sqrt3.$ The side length of this triangle is $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The area of it is then $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{3}.$ The area of the folded figure is then $\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The desired ratio is then $\dfrac{2\sqrt3}{3} \div \sqrt3 = \dfrac{2}{3}.$ Therefore $B:A=2:3$ . Thus, C is the correct answer.

24.

Una sucesión de números naturales se construye listando los primeros $4,$ luego saltando uno, listando los siguientes $5,$ saltando $2,$ listando $6,$ saltando $3,$ y en la $n$ -ésima iteración, listando $n+3$ y saltando $n.$ La sucesión comienza $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$ ¿Cuál es el $500{,}000$ -ésimo número de la sucesión?

A sequence of natural numbers is constructed by listing the first $4,$ then skipping one, listing the next $5,$ skipping $2,$ listing $6,$ skipping $3,$ and on the $n$ th iteration, listing $n+3$ and skipping $n.$ The sequence begins $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$ What is the $500{,}000$ th number in the sequence?

$996,$ $\!506$

$996,$ $\!507$

$996,$ $\!508$

$996,$ $\!509$

$996,$ $\!510$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria número triangular

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Cuenta cuántos términos se han listado después de $n$ iteraciones completas.

Count how many terms have been listed after $n$ full iterations

Pista grande:

Luego localiza el término buscado dentro del siguiente bloque listado.

Then locate the desired term inside the next listed block

Solución:

Después de $n$ iteraciones completas, el número de términos listados es $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ .

Necesitamos el mayor $n$ con $\frac{n(n+7)}2<500000$ . Como $996\cdot1003=998988$ , después de $996$ iteraciones hay $499494$ números listados.

El primer número listado en la iteración $997$ es uno más que el total de todos los números listados y saltados hasta ese momento, es decir, $996^2+4\cdot996+1=996001$ .

El $500000$ -ésimo número listado es el $500000-499494=506$ -ésimo número de este siguiente bloque, así que es $996001+505=996506$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

After $n$ full iterations, the number of listed terms is $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ .

We need the largest $n$ with $\frac{n(n+7)}2<500000$ . Since $996\cdot1003=998988$ , after $996$ iterations there are $499494$ listed numbers.

The first number listed in iteration $997$ is one more than the total of all listed and skipped numbers so far, namely $996^2+4\cdot996+1=996001$ .

The $500000$ th listed number is the $500000-499494=506$ th number of this next block, so it is $996001+505=996506$ .

Thus, A is the correct answer.

25.

El número $5^{867}$ está entre $2^{2013}$ y $2^{2014}.$ ¿Cuántos pares de enteros $(m,n)$ hay tales que $1\leq m\leq 2012$ y $5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}?$

The number $5^{867}$ is between $2^{2013}$ and $2^{2014}.$ How many pairs of integers $(m,n)$ are there such that $1\leq m\leq 2012$ and $5^n < 2^m < 2^{m+2} < 5^{n+1}?$

$278$

$279$

$280$

$281$

$282$

Respuesta: B

Conceptos:exponente conteo de enteros en un rango sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Cada intervalo entre potencias consecutivas de $5$ contiene dos o tres potencias de $2$ .

Each interval between consecutive powers of $5$ contains two or three powers of $2$

Pista grande:

Usa el número total de potencias de $2$ antes de $5^{867}$ .

Use the total number of powers of $2$ before $5^{867}$

Solución:

Como $2^2<5<2^3$ , cada intervalo $(5^n,5^{n+1})$ contiene dos o tres potencias de $2$ . La desigualdad buscada se cumple exactamente en los intervalos que contienen tres de esas potencias.

Para $0\le n<867$ , sea $d$ el número de intervalos con dos potencias de $2$ , y sea $t$ el número con tres potencias de $2$ . Entonces $d+t=867$ .

Como $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$ , estos intervalos contienen $2013$ potencias de $2$ en total, así que $2d+3t=2013$ .

Al resolver el sistema se obtiene $t=279$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since $2^2<5<2^3$ , each interval $(5^n,5^{n+1})$ contains either two or three powers of $2$ . The desired inequality holds exactly for intervals containing three such powers.

For $0\le n<867$ , let $d$ be the number of intervals with two powers of $2$ , and let $t$ be the number with three powers of $2$ . Then $d+t=867$ .

Because $2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$ , these intervals contain $2013$ powers of $2$ altogether, so $2d+3t=2013$ .

Solving the system gives $t=279$ .

Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2014 AMC 10A

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande: