Question

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $2.$ Se construye dentro del cuadrado un semicírculo con diámetro $\overline{AB}$ , y la tangente al semicírculo desde $C$ corta al lado $\overline{AD}$ en $E.$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{CE}$ ?

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

Solución:

Sea $F$ el punto donde $CE$ toca el semicírculo y sea $x = AE.$ Como las tangentes desde un punto son iguales, $CF = CB = 2$ y $EF = EA = x,$ así que $CE = 2 + x.$

En el triángulo rectángulo $CDE,$ tenemos $DE = 2 - x$ y $DC = 2,$ así que $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$ Esto da $x = \dfrac{1}{2},$ por lo que $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle and let $x = AE.$ Since tangents from a point are equal, $CF = CB = 2$ and $EF = EA = x,$ so $CE = 2 + x.$

In right triangle $CDE,$ we have $DE = 2 - x$ and $DC = 2,$ so $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$ This gives $x = \dfrac{1}{2},$ hence $CE = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años