Question

Alice se niega a sentarse junto a Bob o Carla. Derek se niega a sentarse junto a Eric. ¿De cuántas maneras pueden sentarse los cinco en una fila de $5$ sillas bajo estas condiciones?

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of $5$ chairs under these conditions?

$12$

$16$

$28$

$32$

$40$

Solución:

Si Alice se sienta en un extremo, entonces la persona a su lado no puede ser Bob ni Carla. Esto significa que debe ser Derek o Eric.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que esa persona es Eric. Entonces la persona junto a Eric tiene que ser Bob o Carla. Después de eso no hay más restricciones.

Esto nos da un total de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$

El primer $2$ es por los dos extremos. El segundo $2$ es por Derek o Eric. El tercer $2$ es por Bob o Carla. El último $2$ es por las $2$ personas restantes.

De lo contrario, supongamos que Alice está en uno de los tres asientos que no son extremos. Entonces las dos personas a su lado tienen que ser Derek y Eric. Bob y Carla quedan obligados a ocupar los últimos $2$ asientos.

Hay $3$ opciones para el asiento de Alice. El lado en el que se sienta Derek tiene $2$ opciones, y luego hay $2$ opciones para dónde van Bob y Carla.

Esto nos da $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ configuraciones.

Por lo tanto, hay un total de $12 + 16 = 28$ disposiciones de asientos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If Alice sits on an end, then the person next to her cannot be Bob or Carla. This means that it must be Derek or Eric.

WLOG, let the person be Eric. Then the person next to Eric has to be Bob or Carla. After that there are no more restrictions.

This gives us a total of $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$

The first $2$ is for both edges. The second $2$ is for Derek or Eric. The third $2$ is for Bob or Carla. The final $2$ is just for the $2$ people that are remaining.

Otherwise, let Alice be in one of the three non-end seats. Then the two people next to her have to be Derek and Eric. Bob and Carla are forced to be in the last $2$ seats.

There are $3$ choices for Alice's seat. The side on which Derek sits has $2$ options, and then there are $2$ options for where Bob and Carla go.

This gives us $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ configurations.

Therefore, there are a total of $12 + 16 = 28$ total seating arrangements.

Thus, C is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años