Question

Amelia tiene una moneda que cae cara con probabilidad $\frac{1}{3},$ y Blaine tiene una moneda que cae cara con probabilidad $\frac{2}{5}.$ Amelia y Blaine lanzan sus monedas alternadamente hasta que alguien obtiene cara; el primero en obtener cara gana. Todos los lanzamientos son independientes. Amelia empieza. La probabilidad de que Amelia gane es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $q-p$ ?

Amelia has a coin that lands heads with probability $\frac{1}{3},$ and Blaine has a coin that lands on heads with probability $\frac{2}{5}.$ Amelia and Blaine alternately toss their coins until someone gets a head; the first one to get a head wins. All coin tosses are independent. Amelia goes first. The probability that Amelia wins is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $q-p?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Sea $x$ la probabilidad de que Amelia gane.

Hay una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de que Amelia gane en su primer lanzamiento.

Si ella obtiene cruz, queremos que Blaine pierda, lo cual ocurre con probabilidad $\frac{3}{5}$ .

La probabilidad total de este caso es $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}.$

El juego vuelve entonces a Amelia, quien de nuevo tiene una probabilidad $x$ de ganar.

Por lo tanto, obtenemos la siguiente ecuación. $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}x$ $\dfrac{3}{5}x = \dfrac{1}{3}$ $x = \dfrac{5}{9}.$

La diferencia entre el denominador y el numerador es $9 - 5 = 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the probability that Amelia wins.

There is a $\frac{1}{3}$ chance Amelia wins off her first flip.

If she gets a tails, we want Blaine to lose, which happens with a $\frac{3}{5}$ chance.

The total probability of this case is $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}.$

The game then goes back to Amelia, who then again has a $x$ chance of winning.

Therefore, we get the following equation. $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}x$ $\dfrac{3}{5}x = \dfrac{1}{3}$ $x = \dfrac{5}{9}.$

The difference between the denominator and numerator is $9 - 5 = 4.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años