Question

Tres jóvenes parejas de hermano y hermana de distintas familias necesitan hacer un viaje en una furgoneta. Estos seis niños ocuparán la segunda y la tercera fila de la furgoneta, cada una con tres asientos. Para evitar alborotos, los hermanos no pueden sentarse justo al lado del otro en la misma fila, y ningún niño puede sentarse directamente delante de su hermano o hermana. ¿Cuántas disposiciones de asientos son posibles para este viaje?

Three young brother-sister pairs from different families need to take a trip in a van. These six children will occupy the second and third rows in the van, each of which has three seats. To avoid disruptions, siblings may not sit right next to each other in the same row, and no child may sit directly in front of his or her sibling. How many seating arrangements are possible for this trip?

$60$

$72$

$92$

$96$

$120$

Solución:

Supón que alguna familia coloca a sus dos niños en una fila. Tendrían que ocupar los asientos no adyacentes $1$ y $3,$ lo que obliga a los dos niños de la familia del medio a quedar en la misma columna. No está permitido. Así que cada fila tiene exactamente un niño de cada familia. La segunda fila es una permutación de las tres familias, $3! = 6$ maneras. La tercera fila necesita una familia diferente en cada columna, un desarreglo del orden de la segunda fila, y hay $2$ de esos. Por último, cada pareja puede intercambiar a sus dos niños entre sus asientos, $2^3 = 8$ maneras. El total es $6 \cdot 2 \cdot 8 = 96.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Suppose some family put both children in one row. They'd have to take the non-adjacent seats $1$ and $3,$ which forces the middle family's two children into the same column. Not allowed. So each row holds exactly one child from each family. The second row is a permutation of the three families, $3! = 6$ ways. The third row needs a different family in every column, a derangement of the second row's order, and there are $2$ of those. Finally, each pair can swap its two children between their seats, $2^3 = 8$ ways. The total is $6 \cdot 2 \cdot 8 = 96.$ Therefore, the answer is D.

2018 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años