Question

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de las circunferencias correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi+6$

$2\pi+4\sqrt{3}$

$3\pi+4$

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

$\pi+6\sqrt{3}$

Solución:

Observa que la región encerrada por la curva pero fuera del hexágono consiste en $3$ sectores con ángulo $240^{\circ}.$

Esto significa que juntos forman $2$ circunferencias completas de radio $1.$ Ahora hay que hallar el área de la región que está dentro tanto del hexágono como de la curva.

Esta área se puede hallar calculando el área del hexágono y restando las áreas de los sectores fuera de la curva.

Hay tres $\dfrac{1}{3}$ de circunferencia que juntos forman una circunferencia completa. El área del hexágono está dada por $\dfrac{3}{2} \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

El área buscada es entonces $2\pi + (6\sqrt{3} - \pi) = \pi + 6\sqrt{3}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that the region enclosed by the curve but outside the hexagon consists of $3$ sectors with angle $240^{\circ}.$

This means that together they form $2$ whole circles with radius $1.$ Now to find the area of the region inside both the hexagon and the curve.

This area can be found by finding the area of the hexagon and subtracting out the areas of the sectors outside the curve.

There are three $\dfrac{1}{3}$ circles that together form a whole circle. The area of the hexagon can be given by $\dfrac{3}{2} \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}.$

The desired area is then $2\pi + (6\sqrt{3} - \pi) = \pi + 6\sqrt{3}.$

Thus, E is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años