Question

Sea $(a,b,c,d)$ una cuádrupla ordenada de enteros no necesariamente distintos, cada uno de ellos en el conjunto $\{0,1,2,3\}.$ ¿Para cuántas de esas cuádruplas se cumple que $a\cdot d-b\cdot c$ es impar? (Por ejemplo, $(0,3,1,1)$ es una de esas cuádruplas, porque $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ es impar.)

Let $(a,b,c,d)$ be an ordered quadruple of not necessarily distinct integers, each one of them in the set $\{0,1,2,3\}.$ For how many such quadruples is it true that $a\cdot d-b\cdot c$ is odd? (For example, $(0,3,1,1)$ is one such quadruple, because $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ is odd.)

$48$

$64$

$96$

$128$

$192$

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Solución escrita:

Solo importa la paridad. Módulo $2$ , la condición es que $ad-bc$ sea $1$ , lo que significa que la matriz $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ es invertible sobre $\mathbb F_2$ .

Hay $(4-1)(4-2)=6$ matrices $2\times2$ invertibles sobre $\mathbb F_2$ . Cada patrón de paridad se eleva a $2^4=16$ elecciones de $\{0,1,2,3\}$ , así que hay $6\cdot16=96$ cuádruplas. Así, C es la respuesta correcta.

Only parity matters. Modulo $2$ , the condition is that $ad-bc$ is $1$ , meaning the matrix $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ is invertible over $\mathbb F_2$ .

There are $(4-1)(4-2)=6$ invertible $2\times2$ matrices over $\mathbb F_2$ . Each parity pattern lifts to $2^4=16$ choices from $\{0,1,2,3\}$ , so there are $6\cdot16=96$ quadruples. Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 18

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El Problema 18 en otros años