Question

Considera sistemas de tres ecuaciones lineales con incógnitas $x,$ $y,$ y $z,$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ donde cada uno de los coeficientes es $0$ o $1$ y el sistema tiene una solución distinta de $x=y=z=0.$ Por ejemplo, uno de esos sistemas es $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$ con una solución no nula de $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ ¿Cuántos de esos sistemas de ecuaciones hay? (Las ecuaciones de un sistema no tienen por qué ser distintas, y dos sistemas que contienen las mismas ecuaciones en distinto orden se consideran diferentes.)

Consider systems of three linear equations with unknowns $x,$ $y,$ and $z,$ $\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z & = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z & = 0 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z & = 0 \end{cases}$ where each of the coefficients is either $0$ or $1$ and the system has a solution other than $x=y=z=0.$ For example, one such system is $\begin{cases} 1 x + 1 y + 0 z & = 0 \\ 0 x + 1 y + 1 z & = 0 \\ 0 x + 0 y + 0 z & = 0 \end{cases}$ with a nonzero solution of $(x,y,z) = (1, -1, 1).$ How many such systems of equations are there? (The equations in a system need not be distinct, and two systems containing the same equations in a different order are considered different.)

$\ 302$

$\ 338$

$\ 340$

$\ 343$

$\ 344$

Solución:

Hay $2^9 =512$ configuraciones en total. Ahora, podemos usar conteo complementario para determinar cuántas tienen más de una solución.

Si una configuración tiene $3$ ecuaciones que no contienen información redundante, entonces tiene una sola solución.

Esto significa que cada ecuación debe ser diferente. Además, si alguna ecuación tiene $a,b,c =0,$ entonces no aporta ninguna información, haciéndola redundante. Esto significa que tenemos $7$ opciones para la primera ecuación, $6$ para la segunda y $5$ para la tercera.

Esto da $210$ configuraciones. Sin embargo, algunas configuraciones todavía pueden dar información redundante. Si dos ecuaciones se suman para dar la otra ecuación, entonces hay redundancia.

Hay dos casos en los que esto puede ocurrir.

Caso $1:$ $1$ de las ecuaciones tiene $a,b,c=1,$ otra ecuación tiene $1$ de las variables igual a $1$ y la otra ecuación tiene $2$ variables iguales a $1.$ Hay $3$ maneras de elegir qué ecuación tiene todas las variables iguales a $1.$ Luego, hay $2$ maneras de elegir qué variables tienen una variable igual a $1,$ y esta ecuación tiene $3$ maneras de elegir qué variable es $1.$ Este caso tiene $3\cdot 2\cdot 3=18$ configuraciones que excluir.

Caso $2:$ $1$ de las ecuaciones tiene $2$ variables iguales a $1,$ y las otras dos ecuaciones tienen solo una variable igual a $1,$ siendo esas variables diferentes entre sí, pero una de las variables elegidas en la primera ecuación. Hay $3$ maneras de elegir la ecuación con $2$ variables iguales a $1,$ hay $3$ maneras de elegir qué variables son $1,$ y $2$ maneras de elegir el orden de las otras ecuaciones. Este caso tiene $3\cdot 2\cdot 3=18$ configuraciones que excluir.

Hay en total $210-18-18=174$ casos que tienen una sola solución. Esto significa que $512-174=338$ configuraciones tienen múltiples soluciones, haciendo que al menos una sea no nula.

Así, la respuesta es B.

There are $2^9 =512$ total configurations. Now, we can use complementary counting to determine how many have more than one solution.

If a configuration has $3$ equations which don't contain redundant information, then it has only one solution.

This means every equation has to be different. Also, if any equation has $a,b,c =0,$ then it doesn't provide any information, making it redundant. This means we have $7$ choices for the first equation, $6$ choices for the second, and $5$ choices for the third.

This yields $210$ configurations. However, some configurations may still yield redundant information. If two equations add to the other equation, then there is a redundancy.

There are two cases for this to happen.

Case $1:$ $1$ of the equations has $a,b,c=1,$ another equation has $1$ of the variables being $1$ and the other equation has $2$ variables being $1.$ There are $3$ ways to choose which equation has every variable as $1.$ Then, there are $2$ ways to choose which variables have one variable being $1,$ and this equation has $3$ ways to choose which variable is $1.$ This case has $3\cdot 2\cdot 3=18$ configurations to exclude.

Case $2:$ $1$ of the equations has $2$ variables being $1,$ and the other two equations have only one variable being $1,$ with those variables being different from each other, but one of the variables chosen in the first equation. There are $3$ ways to choose the equation with $2$ variables being $1,$ there are $3$ ways to choose which variables are $1,$ and $2$ ways to choose the order of the other equations. This case has $3\cdot 2\cdot 3=18$ configurations to exclude.

There are a total of $210-18-18=174$ cases which have only one solution. This means $512-174=338$ configurations have multiple solutions, making at least one nonzero.

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años