Question

Hay exactamente $K$ enteros positivos $b$ con $5 \le b \le 2024$ tales que el entero $2024_b$ en base $b$ es divisible por $16$ (donde $16$ está en base diez). ¿Cuál es la suma de los dígitos de $K$ ?

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5 \le b \le 2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4;$ ser divisible por $16$ requiere que $b^3 + b + 2$ sea divisible por $8$ .

$2024_b = 2b^3 + 2b + 4;$ dividing by $16$ requires $b^3 + b + 2$ to be divisible by $8$

Pista grande:

Revisa $b \bmod 8;$ los residuos $3, 6, 7$ funcionan, así que cuenta esos $b$ en $[5, 2024]$ .

Check $b \bmod 8;$ the residues $3, 6, 7$ work, so count those $b$ in $[5, 2024]$

Solución:

En base $b,$ $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2),$ así que $2024_b$ es divisible por $16$ exactamente cuando $b^3 + b + 2$ es divisible por $8.$ Prueba los residuos módulo $8:$ esto se cumple precisamente para $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8.$ Contar los $b$ con $5 \le b \le 2024$ en esas tres clases da $K = 758,$ cuya suma de dígitos es $7 + 5 + 8 = 20.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

In base $b,$ $2024_b = 2b^3 + 2b + 4$ $= 2(b^3 + b + 2),$ so $2024_b$ is divisible by $16$ exactly when $b^3 + b + 2$ is divisible by $8.$ Test the residues modulo $8:$ this holds precisely for $b \equiv 3, 6, 7 \pmod 8.$ Counting the $b$ with $5 \le b \le 2024$ in those three classes gives $K = 758,$ whose digit sum is $7 + 5 + 8 = 20.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años