Question

La media armónica de un conjunto de números es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números del conjunto. Por ejemplo, la media armónica de $4, 4, 5$ es

$\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$

¿Cuál es la media armónica de todas las raíces reales del siguiente polinomio de grado $4050$ ?

$\begin{gathered} \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ {}= (x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ \quad {}\cdot (2025x^2 - 4x - 3) \end{gathered}$

The harmonic mean of a collection of numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of the reciprocals of the numbers in the collection. For example, the harmonic mean of $4, 4, 5$ is

$\frac{1}{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{7}.$

What is the harmonic mean of all the real roots of the $4050$ th degree polynomial

$\begin{gathered} \prod_{k=1}^{2025}(kx^2 - 4x - 3) \\ {}= (x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (2x^2 - 4x - 3) \\ \quad {}\cdot (3x^2 - 4x - 3)\cdots \\ \quad {}\cdot (2025x^2 - 4x - 3)? \end{gathered}$

$-\dfrac{5}{3}$

$-\dfrac{3}{2}$

$-\dfrac{6}{5}$

$-\dfrac{5}{6}$

$-\dfrac{2}{3}$

Solución:

Mira un factor $kx^2 - 4x - 3.$ Su discriminante $16 + 12k$ es positivo, así que tiene dos raíces reales distintas. Por Vieta, sus recíprocos suman $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4/k}{-3/k} = -\tfrac{4}{3},$ y observa que $k$ se cancela. Sumando sobre los $2025$ factores, los recíprocos totalizan $2025 \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -2700.$ Hay $4050$ raíces en total, así que la media armónica es $\frac{4050}{-2700} = -\tfrac{3}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Look at one factor $kx^2 - 4x - 3.$ Its discriminant $16 + 12k$ is positive, so it has two distinct real roots. By Vieta, their reciprocals sum to $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{4/k}{-3/k} = -\tfrac{4}{3},$ and notice the $k$ cancels. Summing over all $2025$ factors, the reciprocals total $2025 \cdot \left(-\tfrac{4}{3}\right) = -2700.$ There are $4050$ roots in all, so the harmonic mean is $\frac{4050}{-2700} = -\tfrac{3}{2}.$ Therefore, the answer is B.

2025 AMC 10A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años