Question

Sea $f$ una función definida en el conjunto de los números racionales positivos con la propiedad de que $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ para todos los números racionales positivos $a$ y $b$ . Supongamos que $f$ también cumple la propiedad de que $f(p)=p$ para todo número primo $p$ . ¿Para cuál de los siguientes números $x$ se cumple $f(x) < 0$ ?

Let $f$ be a function defined on the set of positive rational numbers with the property that $f(a\cdot b)=f(a)+f(b)$ for all positive rational numbers $a$ and $b.$ Suppose that $f$ also has the property that $f(p)=p$ for every prime number $p.$ For which of the following numbers $x$ is $f(x) < 0?$

$\dfrac{17}{32}$

$\dfrac{11}{16}$

$\dfrac{7}{9}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{25}{11}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Observa que, para cualquier número de la forma $p^e$ donde $p$ es primo, $f(p^e) = ef(p) = ep.$ Esto se ve aplicando la propiedad de la función varias veces.

Observa también que $\begin{align*}f(a) &= f\left(\dfrac{a}{b} \cdot b\right) \\&= f\left(\dfrac{a}{b}\right) + f(b),\end{align*}$ lo que nos da $f\left(\dfrac{a}{b}\right) = f(a) - f(b).$

Ahora podemos calcular cada opción de respuesta una por una.

$f\left(\dfrac{17}{32}\right) = f(17) - f(32)$ $= 17 - 5 \cdot 2 = 7.$

$\begin{gather*} f\left(\dfrac{11}{16}\right) = f(11) - f(16) \\ = 11 - 4 \cdot 2 = 3 \end{gather*}$

$\begin{gather*} f\left(\dfrac{7}{9}\right) = f(7) - f(9) \\ = 7 - 2 \cdot 3 = 1 \end{gather*}$

$\begin{gather*} f\left(\dfrac{7}{6}\right) = f(7) - f(6) \\ = 7 - f(2) - f(3) = 2 \end{gather*}$

$\begin{gather*} f\left(\dfrac{25}{11}\right) = f(25) - f(11) \\ = 2 \cdot 5 - 11 = -1 \end{gather*}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that for any number of the form $p^e$ where $p$ is prime, $f(p^e) = ef(p) = ep.$ This can be seen by applying the function property multiple times.

Also note that $\begin{align*}f(a) &= f\left(\dfrac{a}{b} \cdot b\right) \\&= f\left(\dfrac{a}{b}\right) + f(b),\end{align*}$ which gives us $f\left(\dfrac{a}{b}\right) = f(a) - f(b).$

We can now calculate each answer choice one-by-one.