Question

Una lista de $11$ enteros positivos tiene media $10,$ mediana $9,$ y una única moda $8.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de un entero de la lista?

A list of $11$ positive integers has a mean of $10,$ a median of $9,$ and a unique mode of $8.$ What is the largest possible value of an integer in the list?

$24$

$30$

$31$

$33$

$35$

Solución:

La lista tiene suma total $11\cdot10=110$ . Para maximizar la mayor entrada, minimiza la suma de las otras diez entradas.

En orden no decreciente, la sexta entrada es $9$ , y $8$ debe ser la única moda. Si $8$ aparece dos veces, la menor suma posible de las primeras diez entradas es $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ , lo que da una mayor entrada de $33$ .

Si $8$ aparece tres veces, las menores primeras diez entradas posibles son $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ , con suma $75$ , lo que da una mayor entrada de $35$ .

Si $8$ aparece cuatro o cinco veces, la menor suma posible de las primeras diez entradas es al menos $80$ , así que la mayor entrada es a lo sumo $30$ .

Por lo tanto, la mayor entrada posible es $35$ , y la respuesta correcta es E.

The list has total sum $11\cdot10=110$ . To maximize the largest entry, minimize the sum of the other ten entries.

In nondecreasing order, the sixth entry is $9$ , and $8$ must be the unique mode. If $8$ appears twice, the least possible first ten entries sum to $1+2+3+8+8+9$ $+10+11+12+13$ $=77$ , giving largest entry $33$ .

If $8$ appears three times, the least possible first ten entries are $1,1,8,8,8,9,9,10,10,11$ , with sum $75$ , giving largest entry $35$ .

If $8$ appears four or five times, the least possible sum of the first ten entries is at least $80$ , so the largest entry is at most $30$ .

Therefore the largest possible entry is $35$ , and the correct answer is E .

2014 AMC 10B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años