Question

¿Cuál es la mayor potencia de $2$ que es un factor de $10^{1002} - 4^{501}$ ?

What is the greatest power of $2$ that is a factor of $10^{1002} - 4^{501}?$

$2^{1002}$

$2^{1003}$

$2^{1004}$

$2^{1005}$

$2^{1006}$

Solución:

Extrae la potencia obvia de $2$ : $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ .

Como $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ , y $501$ es impar, $5^{501}-1$ es divisible entre $4$ pero no entre $8$ , mientras que $5^{501}+1$ es divisible entre $2$ pero no entre $4$ .

Por lo tanto, $5^{1002}-1$ aporta exactamente $2^3$ , así que la expresión completa es divisible entre $2^{1005}$ pero no entre $2^{1006}$ .

Así, la respuesta correcta es D.

Factor out the obvious power of $2$ : $10^{1002}-4^{501}=2^{1002}(5^{1002}-1)$ .

Since $5^{1002}-1=(5^{501}-1)(5^{501}+1)$ , and $501$ is odd, $5^{501}-1$ is divisible by $4$ but not by $8$ , while $5^{501}+1$ is divisible by $2$ but not by $4$ .

Thus $5^{1002}-1$ contributes exactly $2^3$ , so the whole expression is divisible by $2^{1005}$ but not $2^{1006}$ .

Thus, the correct answer is D .

2014 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años