Question

¿Cuál es el producto de todas las raíces de la ecuación $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}$ ?

What is the product of all the roots of the equation $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{x^2 - 16}?$

$-64$

$-24$

$-9$

$24$

$576$

Solución:

La ecuación es igual a $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{|x|^2 - 16}.$ Resolviendo, obtenemos que: $\begin{align*} 5|x|+8 &= |x|^2-16 \\ |x|^2-5|x|-24&=0 \\ (|x|-8)(|x|+3)&=0 \end{align*}$ Esto hace que $|x|=-3,8$ , siendo $|x|=8$ el único valor posible. Así, $x =8,-8$ con un producto de $-64$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equal to $\sqrt{5 | x | + 8} = \sqrt{|x|^2 - 16}.$ Solving, we get that: $\begin{align*} 5|x|+8 &= |x|^2-16 \\ |x|^2-5|x|-24&=0 \\ (|x|-8)(|x|+3)&=0 \end{align*}$ This makes $|x|=-3,8,$ making $|x|=8$ the only possible value. Thus, $x =8,-8$ with a product of $-64.$

Thus, the correct answer is A .

2011 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años