Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=5$ y $BC=4.$ El punto $E$ está en $\overline{AB}$ de modo que $EB=1,$ el punto $G$ está en $\overline{BC}$ de modo que $CG=1,$ y el punto $F$ está en $\overline{CD}$ de modo que $DF=2.$ Los segmentos $\overline{AG}$ y $\overline{AC}$ cortan a $\overline{EF}$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. ¿Cuál es el valor de $\dfrac{PQ}{EF}$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=5$ and $BC=4.$ Point $E$ lies on $\overline{AB}$ so that $EB=1,$ point $G$ lies on $\overline{BC}$ so that $CG=1,$ and point $F$ lies on $\overline{CD}$ so that $DF=2.$ Segments $\overline{AG}$ and $\overline{AC}$ intersect $\overline{EF}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is the value of $\dfrac{PQ}{EF}?$

$~\dfrac{\sqrt{3}}{16}$

$~\dfrac{\sqrt{2}}{13}$

$~\dfrac{9}{82}$

$~\dfrac{10}{91}$

$~\dfrac19$

Solución:

Observa que $AE = AB-EB$ $= 5-1$ $=4.$ Además, $FC = DC-DF$ $= 5-2$ $=3.$ Luego, como $AE \mid \mid FC,$ sabemos que $\triangle AEP \sim \triangle CFP$ por semejanza ángulo-ángulo. Así, $\dfrac{PF}{PE} = \dfrac{FC}{EA} = \dfrac 34 .$ Esto hace que $\dfrac{PF}{EF} = \dfrac{3}{3+4} = \dfrac 37.$

Luego, sea $X$ la prolongación de $AG$ hasta encontrar $CD.$ Como dos lados son paralelos, tenemos $\dfrac{AD}{DX} = \dfrac{BG}{AB}.$ Así, $\dfrac{4}{DX} = \dfrac{3}{5}$ $DX = \dfrac{20}3.$ Esto hace que $FX = \dfrac{20}3 - 2 = \dfrac{14}3 .$ Luego, como $AE \mid \mid FX,$ sabemos que $\triangle AEQ \sim \triangle XFQ$ por semejanza ángulo-ángulo. Por lo tanto, $\dfrac{QF}{QE} = \dfrac{FX}{EA} = \dfrac {\frac{14}{3}}4 = \dfrac 76.$ Esto hace que $\dfrac{QF}{EF} = \dfrac{7}{7+6} = \dfrac 7{13}.$

Por ello, $\dfrac{QP}{EF} = \dfrac{QF}{EF} - \dfrac{PF}{EF}$ $= \dfrac{7}{13} - \frac 37$ $= \dfrac{10}{91}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Observe that the value $AE = AB-EB$ $= 5-1$ $=4.$ Also, the value $FC = DC-DF$ $= 5-2$ $=3.$ Then, since $AE \mid \mid FC,$ we know $\triangle AEP \sim \triangle CFP$ by angle angle symmetry. Thus, $\dfrac{PF}{PE} = \dfrac{FC}{EA} = \dfrac 34 .$ This makes $\dfrac{PF}{EF} = \dfrac{3}{3+4} = \dfrac 37.$

Then, let $X$ be the extension of $AG$ to meet $CD.$ Since two sides are parallel, we have $\dfrac{AD}{DX} = \dfrac{BG}{AB}.$ Thus, $\dfrac{4}{DX} = \dfrac{3}{5}$ $DX = \dfrac{20}3.$ This makes $FX = \dfrac{20}3 - 2 = \dfrac{14}3 .$ Then, since $AE \mid \mid FX,$ we know $\triangle AEQ \sim \triangle XFQ$ by angle angle symmetry. Therefore, $\dfrac{QF}{QE} = \dfrac{FX}{EA} = \dfrac {\frac{14}{3}}4 = \dfrac 76.$ This makes $\dfrac{QF}{EF} = \dfrac{7}{7+6} = \dfrac 7{13}.$

As such, $\dfrac{QP}{EF} = \dfrac{QF}{EF} - \dfrac{PF}{EF}$ $= \dfrac{7}{13} - \frac 37$ $= \dfrac{10}{91}.$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años