Question

El rectángulo

ABCD

tiene

AB=5

y

BC=4.

El punto

E

está en

\overline{AB}

de modo que

EB=1,

el punto

G

está en

\overline{BC}

de modo que

CG=1,

y el punto

F

está en

\overline{CD}

de modo que

DF=2.

Los segmentos

\overline{AG}

y

\overline{AC}

cortan a

\overline{EF}

en

Q

y

P,

respectivamente. ¿Cuál es el valor de

\dfrac{PQ}{EF}

?

Rectangle

ABCD

has

AB=5

and

BC=4.

Point

E

lies on

\overline{AB}

so that

EB=1,

point

G

lies on

\overline{BC}

so that

CG=1,

and point

F

lies on

\overline{CD}

so that

DF=2.

Segments

\overline{AG}

and

\overline{AC}

intersect

\overline{EF}

at

Q

and

P,

respectively. What is the value of

\dfrac{PQ}{EF}?

~\dfrac{\sqrt{3}}{16}

~\dfrac{\sqrt{2}}{13}

~\dfrac{9}{82}

~\dfrac{10}{91}

~\dfrac19

Respuesta: D

Conceptos:semejanza rectas paralelas rectángulo

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Primero halla dónde

AC

y

AG

cortan a

EF

.

First find where

AC

and

AG

cut

EF

Pista grande:

Usa triángulos semejantes para expresar

\frac{PF}{EF}

y

\frac{QF}{EF}

.

Use similar triangles to express

\frac{PF}{EF}

and

\frac{QF}{EF}

Solución:

Tenemos

AE=AB-EB=4

y

FC=DC-DF=3.

Como

AE\parallel FC,

los triángulos

AEP

y

CFP

son semejantes. Por tanto,

\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,

así que

\frac{PF}{EF}=\frac37.

Prolonguemos

AG

hasta que corte a la recta

CD

en

X.

Como

BG=3,

la semejanza da

\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,

y por tanto

DX=\frac{20}{3}

. Así,

FX=DX-DF=\frac{14}{3}.

Como

AE\parallel FX,

los triángulos

AEQ

y

XFQ

son semejantes, por lo que

\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.

En consecuencia,

\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.

Se sigue que

\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}

Por tanto, la respuesta correcta es D.

We have

AE=AB-EB=4

and

FC=DC-DF=3.

Since

AE\parallel FC,

the triangles

AEP

and

CFP

are similar. Therefore

\frac{PF}{PE}=\frac{FC}{AE}=\frac34,

so

\frac{PF}{EF}=\frac37.

Extend

AG

to meet line

CD

at

X.

Because

BG=3,

similarity gives

\frac{AD}{DX}=\frac{BG}{AB},\qquad \frac4{DX}=\frac35,

and hence

DX=\frac{20}{3}

. Thus

FX=DX-DF=\frac{14}{3}.

Since

AE\parallel FX,

triangles

AEQ

and

XFQ

are similar, so

\frac{QF}{QE}=\frac{FX}{AE}=\frac76.

Consequently

\frac{QF}{EF}=\frac7{13}.

It follows that

\begin{aligned} \frac{PQ}{EF}&=\frac{QF}{EF}-\frac{PF}{EF} \\ &=\frac7{13}-\frac37=\frac{10}{91}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años