Question

La rana Sonya elige un punto de forma uniforme al azar dentro del cuadrado $[0, 6] \times [0, 6]$ en el plano de coordenadas y salta a ese punto. Luego elige una distancia de forma uniforme al azar de $[0, 1]$ y una dirección de forma uniforme al azar de $\{\text{north}, \text{south}, \text{east}, \text{west}\}.$ Todas sus elecciones son independientes. Ahora salta la distancia en la dirección elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga fuera del cuadrado?

Sonya the frog chooses a point uniformly at random lying within the square $[0, 6] \times [0, 6]$ in the coordinate plane and hops to that point. She then chooses a distance uniformly at random from $[0, 1]$ and a direction uniformly at random from $\{\text{north}, \text{south}, \text{east}, \text{west}\}.$ All her choices are independent. She now hops the distance in the chosen direction. What is the probability that she lands outside the square?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

Solución:

Las cuatro direcciones se comportan igual por simetría, así que digamos que salta al este. Cae fuera exactamente cuando su coordenada $x$ más la distancia de salto $d$ supera $6.$ Fija $d.$ Su coordenada $x$ es uniforme en $[0, 6],$ así que supera $6 - d$ con probabilidad $\frac{d}{6}.$ Ahora promedia sobre $d$ uniforme en $[0, 1]:$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The four directions behave the same by symmetry, so say she hops east. She lands outside exactly when her $x$ -coordinate plus the hop distance $d$ tops $6.$ Fix $d.$ Her $x$ -coordinate is uniform on $[0, 6],$ so it beats $6 - d$ with probability $\frac{d}{6}.$ Now average over $d$ uniform on $[0, 1]:$ $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años