Question

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 9$ 、 $CD = 12$ 。对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于 $E$ ， $AC = 14$ ，并且 $\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 面积相等。 $AE$ 是多少？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

答案：E

知识点：三角形面积平行线相似

难度评级：1690

小提示：

在两个等面积三角形上都加上 $\triangle CED$ ，可得 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 面积相等。

Adding $\triangle CED$ to each equal-area triangle shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

大提示：

以共同底边 $CD$ 的面积相等，迫使 $AB \parallel CD$ ，从而 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ 。

Equal areas over the shared base $CD$ force $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$

解答：

因为 $[AED] = [BEC]$ ，两边都加上 $[CED]$ ，得到 $[ACD] = [BCD]$ 。它们共用底边 $CD$ ，所以 $A$ 和 $B$ 到直线 $CD$ 的距离相同，即 $AB \parallel CD$ 。

于是 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ ，所以 $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34$ 。

又 $AE + EC = AC = 14$ ，得到 $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6$ 。

所以正确答案是 E。

Since $[AED] = [BEC],$ adding $[CED]$ to both gives $[ACD] = [BCD].$ These share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.$

With $AE + EC = AC = 14,$ we get $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A 第 23 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题