2009 AMC 10A 真题与在线限时测验

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1:15:00

1.

一罐汽水有 $12$ 盎司。要提供一加仑（ $128$ 盎司）汽水，至少需要多少罐？

One can holds $12$ ounces of soda. What is the minimum number of cans needed to provide a gallon ( $128$ ounces) of soda?

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：E

知识点：整除性估算

难度评级：560

小提示：

用 $128$ 除以 $12$ 。

Divide $128$ by $12$

大提示：

最后一罐即使没有装满，也仍然算作一整罐。

A partly filled last can still counts as a whole can

解答：

因为 $\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3}$ ，十罐只能装 $120$ 盎司，不够。

因此需要 $11$ 罐。

所以正确答案是 E。

Since $\dfrac{128}{12} = 10\dfrac{2}{3},$ ten cans hold only $120$ ounces, which is not enough.

Therefore $11$ cans are needed.

Thus, the correct answer is E.

2.

从一个储钱罐中取出四枚硬币。储钱罐里有一分币、五分币、一角币和二十五分币。以下哪一个数值不可能是这四枚硬币的总价值，单位为美分？

Four coins are picked out of a piggy bank that contains a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters. Which of the following could not be the total value of the four coins, in cents?

$15$

$25$

$35$

$45$

$55$

答案：A

知识点：钱币整除性极限情形界定

难度评级：940

小提示：

若总值是 $5$ 的倍数，则一分币的数量也必须是 $5$ 的倍数。

A total that is a multiple of $5$ forces the number of pennies to be a multiple of $5$

大提示：

如果没有一分币，四枚硬币至少值 $4 \cdot 5 = 20$ 美分。

With no pennies, four coins are worth at least $4 \cdot 5 = 20$ cents

解答：

要得到 $5$ 的倍数美分，一分币的数量必须是 $5$ 的倍数。只有四枚硬币时，这意味着不能有一分币；但此时每枚硬币至少值 $5$ 美分，总值至少为 $20$ 美分。

所以 $15$ 美分无法得到。其他金额都可以组成： $25 = 10 + 3(5)$ ， $35 = 3(10) + 5$ ， $45 = 25 + 10 + 2(5)$ ，以及 $55 = 25 + 3(10)$ 。

所以正确答案是 A。

To get a multiple of $5$ cents, the number of pennies must be a multiple of $5.$ With only four coins, that means using no pennies, but then the four coins are each worth at least $5$ cents, for a total of at least $20$ cents.

So $15$ cents cannot be made. The others can: $25 = 10 + 3(5),$ $35 = 3(10) + 5,$ $45 = 25 + 10 + 2(5),$ and $55 = 25 + 3(10).$

Thus, the correct answer is A.

3.

下列哪一项等于

$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}\text{？}$

Which of the following is equal to

$1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$3$

答案：C

知识点：连分数分数

难度评级：870

小提示：

从最里面的分数向外化简。

Simplify from the innermost fraction outward

大提示：

内层表达式 $1 + \dfrac{1}{1+1}$ 等于 $\dfrac{3}{2}$ 。

The inner expression $1 + \dfrac{1}{1+1}$ equals $\dfrac{3}{2}$

解答：

从内向外计算， $\begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Working outward, $\begin{aligned} &1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}} \\ &= 1 + \cfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}} \\ &= 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

4.

Eric 计划参加铁人三项。他在 $\tfrac14$ 英里的游泳中平均速度为每小时 $2$ 英里，在 $3$ 英里的跑步中平均速度为每小时 $6$ 英里。他的目标是在 $2$ 小时内完成比赛。为了达到目标，他在 $15$ 英里自行车赛段的平均速度必须是多少英里每小时？

Eric plans to compete in a triathlon. He can average $2$ miles per hour in the $\tfrac14$ -mile swim and $6$ miles per hour in the $3$ -mile run. His goal is to finish the triathlon in $2$ hours. To accomplish his goal what must his average speed, in miles per hour, be for the $15$ -mile bicycle ride?

$\dfrac{120}{11}$

$11$

$\dfrac{56}{5}$

$\dfrac{45}{4}$

$12$

答案：A

知识点：路程、速度与时间分数

难度评级：1030

小提示：

先求游泳和跑步用掉的时间，再从 $2$ 小时中减去。

Find the time used by the swim and the run, then subtract from $2$ hours

大提示：

速度等于 $15$ 英里除以剩余时间。

Speed equals $15$ miles divided by the leftover time

解答：

游泳用时 $\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18$ 小时，跑步用时 $\dfrac{3}{6} = \dfrac12$ 小时。这给自行车赛段留下 $2 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8}$ 小时。

所需平均速度为 $\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11}$ 英里/小时。

所以正确答案是 A。

The swim takes $\dfrac{\frac{1}{4}}{2} = \dfrac18$ hour and the run takes $\dfrac{3}{6} = \dfrac12$ hour. This leaves $2 - \dfrac18 - \dfrac12 = \dfrac{11}{8}$ hours for the bicycle ride.

His average speed must be $\dfrac{15}{\frac{11}{8}} = \dfrac{120}{11}$ miles per hour.

Thus, the correct answer is A.

5.

$111{,}111{,}111$ 的平方的各位数字之和是多少？

What is the sum of the digits of the square of $111{,}111{,}111?$

$18$

$27$

$45$

$63$

$81$

答案：E

知识点：数字回文数找规律

难度评级：1070

小提示：

先试着平方位数较少、各位都是一的数，如 $11$ 、 $111$ 、 $1111$ ，观察规律。

Try squaring the shorter repunits $11,$ $111,$ $1111$ to spot a pattern

大提示：

这个各位都是一的九位数的平方是 $12345678987654321$ 。

The square of the nine-digit repunit is $12345678987654321$

解答：

这个各位都是一的九位数的平方是回文数 $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321 \end{aligned}\text{。}$

它的各位数字依次为 $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1$ ，所以数字和为 $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

The square of the nine-digit repunit is the palindrome $\begin{aligned} &111{,}111{,}111^2 \\ &= 12{,}345{,}678{,}987{,}654{,}321. \end{aligned}$

Its digits are $1, 2, \ldots, 9, 8, \ldots, 1,$ so the sum is $\begin{aligned} &2(1 + 2 + \cdots + 8) + 9 \\ &= 2 \cdot 36 + 9 = 81. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

6.

如图所示，一个半径为 $2$ 的圆内切于一个半圆。半圆内但圆外的部分被涂阴影。阴影部分占半圆面积的几分之几？

A circle of radius $2$ is inscribed in a semicircle, as shown. The area inside the semicircle but outside the circle is shaded. What fraction of the semicircle’s area is shaded?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{2}{\pi}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{\pi}$

答案：A

知识点：圆面积相切圆

难度评级：1020

小提示：

小圆放在直径上并与弧相切，所以半圆的半径为 $4$ 。

The circle sits on the diameter and touches the arc, so the semicircle has radius $4$

大提示：

比较小圆面积与半圆面积。

Compare the circle’s area to the semicircle’s area

解答：

内切圆落在直径上并与半圆弧相切，所以半圆的半径是 $4$ 。半圆面积为 $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi\text{。}$

小圆面积为 $\pi(2)^2 = 4\pi$ ，所以阴影面积为 $8\pi - 4\pi = 4\pi$ 。

阴影部分占半圆的比例为 $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12$ 。

所以正确答案是 A。

The inscribed circle rests on the diameter and is tangent to the arc, so the semicircle has radius $4.$ Its area is $\dfrac12 \pi (4)^2 = 8\pi.$

The circle’s area is $\pi(2)^2 = 4\pi,$ so the shaded area is $8\pi - 4\pi = 4\pi.$

The shaded fraction is $\dfrac{4\pi}{8\pi} = \dfrac12.$

Thus, the correct answer is A.

7.

一盒牛奶含 $2\%$ 脂肪，这比一盒全脂牛奶所含脂肪少 $40\%$ 。全脂牛奶的脂肪百分比是多少？

A carton contains milk that is $2\%$ fat, an amount that is $40\%$ less fat than the amount contained in a carton of whole milk. What is the percentage of fat in whole milk?

$\dfrac{12}{5}$

$3$

$\dfrac{10}{3}$

$38$

$42$

答案：C

知识点：百分数一次方程

难度评级：960

小提示：

比 $x$ 少 $40\%$ 意味着是 $x$ 的 $60\%$ 。

$40\%$ less than $x$ means $60\%$ of $x$

大提示：

解方程 $0.6x = 2$ 。

Solve $0.6x = 2$

解答：

设全脂牛奶含脂肪 $x\%$ 。因为 $2$ 比 $x$ 少 $40\%$ ，所以 $0.6x = 2\text{，}$ 从而 $x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Let whole milk be $x\%$ fat. Since $2$ is $40\%$ less than $x,$ we have $0.6x = 2,$ so $x = \dfrac{2}{0.6} = \dfrac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Wen 家三代人去看电影，每一代有两人。最年轻一代的两人作为儿童享受 $50\%$ 折扣。最年长一代的两人作为老人享受 $25\%$ 折扣。中间一代的两人没有折扣。Wen 祖父的一张老人票价为 $\$6.00$ ，他要为所有人付钱。他一共要付多少美元？

Three generations of the Wen family are going to the movies, two from each generation. The two members of the youngest generation receive a $50\%$ discount as children. The two members of the oldest generation receive a $25\%$ discount as senior citizens. The two members of the middle generation receive no discount. Grandfather Wen, whose senior ticket costs $\$6.00,$ is paying for everyone. How many dollars must he pay?

$34$

$36$

$42$

$46$

$48$

答案：B

知识点：百分数逆推法

难度评级：1060

小提示：

老人票是全价的 $75\%$ ，所以先求全价。

A senior ticket is $75\%$ of the full price, so find the full price first

大提示：

加上两张老人票、两张全价票和两张儿童票。

Add two senior, two full, and two child tickets

解答：

老人票价为 $\$6$ ，这是全价的 $\dfrac34$ ，所以全价票为 $\dfrac43 \cdot 6 = \$8$ ，儿童票为 $\dfrac12 \cdot 8 = \$4$ 。

总价为 $2(6 + 8 + 4) = \$36\text{。}$

所以正确答案是 B。

The senior ticket costs $\$6,$ which is $\dfrac34$ of the full price, so a full ticket costs $\dfrac43 \cdot 6 = \$8,$ and a child ticket costs $\dfrac12 \cdot 8 = \$4.$

The total is $2(6 + 8 + 4) = \$36.$

Thus, the correct answer is B.

9.

正整数 $a$ 、 $b$ 和 $2009$ 满足 $a \lt b \lt 2009$ ，并且按这个顺序组成一个公比为整数的等比数列。求 $a$ 的值。

Positive integers $a,$ $b,$ and $2009,$ with $a \lt b \lt 2009,$ form a geometric sequence with an integer ratio. What is $a?$

$7$

$41$

$49$

$287$

$2009$

答案：B

知识点：等比数列质因数分解

难度评级：1240

小提示：

如果公比为 $r$ ，则 $a r^2 = 2009$ 。

If the ratio is $r,$ then $a r^2 = 2009$

大提示：

分解 $2009 = 7^2 \cdot 41$ ，找出唯一大于 $1$ 的整数公比。

Factor $2009 = 7^2 \cdot 41$ to find the only integer ratio greater than $1$

解答：

设公比为 $r$ 。则 $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41$ 。

因为 $r$ 必须是大于 $1$ 的整数，唯一可能是 $r = 7$ ，从而 $a = 41$ ，数列为 $41, 287, 2009$ 。

所以正确答案是 B。

Let the common ratio be $r.$ Then $a r^2 = 2009 = 7^2 \cdot 41.$

Since $r$ must be an integer greater than $1,$ the only possibility is $r = 7,$ giving $a = 41$ and the sequence $41, 287, 2009.$

Thus, the correct answer is B.

10.

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角。点 $D$ 是从 $B$ 向斜边作高的垂足，且 $AD = 3$ 、 $DC = 4$ 。 $\triangle ABC$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ has a right angle at $B.$ Point $D$ is the foot of the altitude from $B,$ $AD = 3,$ and $DC = 4.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$4\sqrt{3}$

$7\sqrt{3}$

$21$

$14\sqrt{3}$

$42$

答案：B

知识点：直角三角形高线三角形面积

难度评级：1240

小提示：

直角顶点到斜边的高满足 $BD^2 = AD \cdot DC$ 。

The altitude to the hypotenuse satisfies $BD^2 = AD \cdot DC$

大提示：

斜边长为 $AC = AD + DC = 7$ 。

The hypotenuse is $AC = AD + DC = 7$

解答：

对直角三角形中从直角顶点到斜边的高，有 $BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12\text{，}$ 所以 $BD = 2\sqrt{3}$ 。

斜边满足 $AC = 3 + 4 = 7$ ，所以面积为 $\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3\text{。}$

所以正确答案是 B。

For the altitude from the right angle to the hypotenuse, $BD^2 = AD \cdot DC = 3 \cdot 4 = 12,$ so $BD = 2\sqrt{3}.$

The hypotenuse is $AC = 3 + 4 = 7,$ so the area is $\dfrac12 \cdot 7 \cdot 2\sqrt3 = 7\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

11.

一个立方体的一条边增加 $1$ ，另一条边减少 $1$ ，第三条边不变。新的长方体体积比原立方体体积少 $5$ 。原立方体的体积是多少？

One dimension of a cube is increased by $1,$ another is decreased by $1,$ and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is $5$ less than that of the cube. What was the volume of the cube?

$8$

$27$

$64$

$125$

$216$

答案：D

知识点：平方差体积一次方程

难度评级：1100

小提示：

设立方体边长为 $x$ ，把新体积写成 $x(x+1)(x-1)$ 。

Let the cube have side $x$ and write the new volume as $x(x+1)(x-1)$

大提示：

注意 $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ 。

Note that $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$

解答：

设立方体边长为 $x$ 。新长方体的体积为 $x(x+1)(x-1) = x^3 - x\text{。}$

新长方体的体积为 $x^3 - 5$ ，所以 $x^3 - x = x^3 - 5$ ，得到 $x = 5$ 。

原立方体体积为 $5^3 = 125$ 。

所以正确答案是 D。

Let the cube have side length $x.$ The new solid has volume $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Setting this equal to $x^3 - 5$ gives $x^3 - x = x^3 - 5,$ so $x = 5.$

The cube’s volume is $5^3 = 125.$

Thus, the correct answer is D.

12.

在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ 、 $BC = 17$ 、 $CD = 5$ 、 $DA = 9$ ，且 $BD$ 是整数。 $BD$ 是多少？

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

答案：C

知识点：三角不等式极限情形界定

难度评级：1220

小提示：

分别对 $\triangle BCD$ 和 $\triangle ABD$ 使用三角形不等式。

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$ separately

大提示：

对角线 $BD$ 必须满足 $12 \lt BD \lt 14$ 。

The diagonal $BD$ must satisfy $12 \lt BD \lt 14$

解答：

在 $\triangle BCD$ 中，三角形不等式给出 $5 + BD \gt 17$ ，所以 $BD \gt 12$ 。

在 $\triangle ABD$ 中，三角形不等式给出 $5 + 9 \gt BD$ ，所以 $BD \lt 14$ 。

唯一满足 $12 \lt BD \lt 14$ 的整数是 $BD = 13$ 。

所以正确答案是 C。

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $5 + BD \gt 17,$ so $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ it gives $5 + 9 \gt BD,$ so $BD \lt 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $BD = 13.$

Thus, the correct answer is C.

13.

设 $P = 2^m$ 、 $Q = 3^n$ 。下列哪一项对任意整数对 $(m, n)$ 都等于 $12^{mn}$ ？

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

答案：E

知识点：指数质因数分解

难度评级：1280

小提示：

写出 $12 = 2^2 \cdot 3$ ，再取 $mn$ 次方。

Write $12 = 2^2 \cdot 3$ and raise it to the power $mn$

大提示：

用 $P = 2^m$ 和 $Q = 3^n$ 重新组合 $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ 。

Regroup $2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ using $P = 2^m$ and $Q = 3^n$

解答：

因为 $12 = 2^2 \cdot 3$ ， $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n} \cdot (3^n)^m \\ &= P^{2n} Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

14.

四个全等的长方形如图摆放。外部正方形的面积是内部正方形面积的 $4$ 倍。每个长方形长边与短边的比是多少？

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

答案：A

知识点：面积比矩形一次方程

难度评级：1340

小提示：

设长方形短边为 $x$ 、长边为 $y$ ，并表示两个正方形的边长。

Let the rectangle have shorter side $x$ and longer side $y,$ and express the two square sides

大提示：

外部正方形边长为 $y + x$ ，内部正方形边长为 $y - x$ ，边长比为 $\sqrt{4} = 2$ 。

The outer square has side $y + x$ and the inner square has side $y - x,$ with ratio $\sqrt{4} = 2$

解答：

设每个长方形短边为 $x$ 、长边为 $y$ 。外部正方形边长为 $y + x$ ，内部正方形边长为 $y - x$ 。

因为面积比为 $4$ ，所以边长比为 $2$ ，于是 $y + x = 2(y - x)\text{，}$ 得到 $y = 3x$ 。

长边与短边的比为 $\dfrac{y}{x} = 3$ 。

所以正确答案是 A。

Let each rectangle have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side length $y + x$ and the inner square has side length $y - x.$

Since the area ratio is $4,$ the side ratio is $2,$ so $y + x = 2(y - x),$ which gives $y = 3x.$

The ratio of longer to shorter side is $\dfrac{y}{x} = 3.$

Thus, the correct answer is A.

15.

图中的 $F_1$ 、 $F_2$ 、 $F_3$ 和 $F_4$ 是一个图形序列的前几项。当 $n \ge 3$ 时， $F_n$ 由 $F_{n-1}$ 构造而成：在它外面围上一个正方形，并且新正方形每条边上的菱形数量比 $F_{n-1}$ 外部正方形每条边上的菱形数量多一个。例如，图形 $F_3$ 有 $13$ 个菱形。图形 $F_{20}$ 中有多少个菱形？

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

答案：E

知识点：递推等差数列求和

难度评级：1400

小提示：

$F_n$ 的外部正方形新增 $4(n-1)$ 个菱形。

The outside square of $F_n$ contributes $4(n-1)$ new diamonds

大提示：

总数为 $1$ 加上 $4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)$ 。

The total is $1$ plus $4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big)$

解答：

从 $F_{n-1}$ 到 $F_n$ ，新的外部正方形带来 $4(n-1)$ 个菱形。从 $F_1$ 的单个菱形开始， $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1) \end{aligned}\text{。}$

因此 $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761\text{。}$

所以正确答案是 E。

Going from $F_{n-1}$ to $F_n,$ the new outside square carries $4(n-1)$ diamonds. Starting from the single diamond of $F_1,$ $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}$

Therefore $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

16.

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为实数，且 $|a - b| = 2$ 、 $|b - c| = 3$ 、 $|c - d| = 4$ 。 $|a - d|$ 所有可能值的和是多少？

Let $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ be real numbers with $|a - b| = 2,$ $|b - c| = 3,$ and $|c - d| = 4.$ What is the sum of all possible values of $|a - d|?$

$9$

$12$

$15$

$18$

$24$

答案：D

知识点：绝对值分类讨论

难度评级：1400

小提示：

写成 $a - d$ $= (a - b) + (b - c) + (c - d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4$ 。

Write $a - d$ $= (a - b) + (b - c) + (c - d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4$

大提示：

列出 $|\pm 2 \pm 3 \pm 4|$ 的不同值。

List the distinct values of $|\pm 2 \pm 3 \pm 4|$

解答：

因为 $a - d$ $= (a-b) + (b-c) + (c-d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4$ ，所以可能的绝对值为 $\begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5 \end{aligned}\text{。}$

它们的和为 $9 + 1 + 3 + 5 = 18$ 。

所以正确答案是 D。

Since $a - d$ $= (a-b) + (b-c) + (c-d)$ $= \pm 2 \pm 3 \pm 4,$ the possible absolute values are $\begin{aligned} 2+3+4 &= 9, \\ 2+3-4 &= 1, \\ 2-3+4 &= 3, \\ -2+3+4 &= 5. \end{aligned}$

Their sum is $9 + 1 + 3 + 5 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

17.

长方形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 3$ 。过 $B$ 作线段 $EF$ ，使得 $EF \perp DB$ ，并且 $A$ 和 $C$ 分别在 $DE$ 和 $DF$ 上。 $EF$ 是多少？

Rectangle $ABCD$ has $AB = 4$ and $BC = 3.$ Segment $EF$ is constructed through $B$ so that $EF \perp DB,$ and $A$ and $C$ lie on $DE$ and $DF,$ respectively. What is $EF?$

$9$

$10$

$\dfrac{125}{12}$

$\dfrac{103}{9}$

$12$

答案：C

知识点：相似直角三角形勾股定理

难度评级：1580

小提示：

先求 $DB = \sqrt{4^2 + 3^2}$ 。

First find $DB = \sqrt{4^2 + 3^2}$

大提示：

三角形 $EBA$ 和 $BFC$ 都与 $\triangle DBA$ 相似，所以可用比例求 $EB$ 和 $BF$ 。

Triangles $EBA$ and $BFC$ are each similar to $\triangle DBA,$ so find $EB$ and $BF$ from ratios

解答：

对角线 $DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ 。

直角三角形 $EBA$ 、 $DBC$ 和 $BFC$ 都与 $\triangle DBA$ 相似。由 $\triangle EBA$ ， $\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3} \end{aligned}\text{。}$

由 $\triangle BFC$ ， $\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4} \end{aligned}\text{。}$

因此 $\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The diagonal is $DB = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$

Right triangles $EBA,$ $DBC,$ and $BFC$ are all similar to $\triangle DBA.$ From $\triangle EBA,$ $\begin{aligned} \dfrac{EB}{AB} &= \dfrac{DB}{BC} \\ &\implies \dfrac{EB}{4} = \dfrac{5}{3} \\ &\implies EB = \dfrac{20}{3}. \end{aligned}$

From $\triangle BFC,$ $\begin{aligned} \dfrac{BF}{BC} &= \dfrac{DB}{AB} \\ &\implies \dfrac{BF}{3} = \dfrac{5}{4} \\ &\implies BF = \dfrac{15}{4}. \end{aligned}$

Therefore $\begin{aligned} EF &= EB + BF \\ &= \dfrac{20}{3} + \dfrac{15}{4} \\ &= \dfrac{125}{12}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

18.

在 Jefferson 夏令营， $60\%$ 的孩子踢足球， $30\%$ 的孩子游泳，并且 $40\%$ 的足球队员游泳。四舍五入到最接近的整数百分比，不游泳的孩子中有百分之多少踢足球？

At Jefferson Summer Camp, $60\%$ of the children play soccer, $30\%$ of the children swim, and $40\%$ of the soccer players swim. To the nearest whole percent, what percent of the non-swimmers play soccer?

$30\%$

$40\%$

$49\%$

$51\%$

$70\%$

答案：D

知识点：百分数韦恩图条件概率

难度评级：1460

小提示：

假设有 $100$ 个孩子，并计算踢足球且游泳的人数。

Assume $100$ children and count soccer players who swim

大提示：

求 $70$ 个不游泳者中有多少人踢足球。

Find how many of the $70$ non-swimmers play soccer

解答：

假设有 $100$ 个孩子： $60$ 人踢足球，其中 $40\%$ ，也就是 $24$ 人，同时游泳。所以 $60 - 24 = 36$ 名足球队员不游泳。

共有 $30$ 名游泳者和 $70$ 名不游泳者，因此不游泳者中踢足球的比例为 $\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%\text{。}$

所以正确答案是 D。

Take $100$ children: $60$ play soccer, and $40\%$ of them, or $24,$ also swim. So $60 - 24 = 36$ soccer players do not swim.

There are $30$ swimmers and $70$ non-swimmers, so the fraction of non-swimmers who play soccer is $\dfrac{36}{70} \approx 0.514 \approx 51\%.$

Thus, the correct answer is D.

19.

圆 $A$ 的半径为 $100$ 。圆 $B$ 的半径 $r \lt 100$ 是整数，并且在圆 $A$ 内部相切地沿圆 $A$ 的圆周滚动一圈。圆 $B$ 旅程开始和结束时，两圆有相同的切点。 $r$ 可能有多少个值？

Circle $A$ has radius $100.$ Circle $B$ has an integer radius $r \lt 100$ and remains internally tangent to circle $A$ as it rolls once around the circumference of circle $A.$ The two circles have the same points of tangency at the beginning and end of circle $B$ ’s trip. How many possible values can $r$ have?

$4$

$8$

$9$

$50$

$90$

答案：B

知识点：圆周长整除性因数个数

难度评级：1630

小提示：

用圆 $A$ 的周长除以圆 $B$ 的周长，得到滚动圈数。

Divide the circumference of circle $A$ by the circumference of circle $B$ to count the rolls

大提示：

这个数是 $\dfrac{100}{r}$ ，必须是大于 $1$ 的整数。

That number is $\dfrac{100}{r},$ which must be an integer greater than $1$

解答：

两个圆的周长分别为 $200\pi$ 和 $2\pi r$ ，所以初始切点在 $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ 圈后回到原处。

为使它是大于 $1$ 的整数， $r$ 必须是小于 $100$ 的 $100$ 的因数： $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25$ ，和 $50$ ，共有 $8$ 个值。

所以正确答案是 B。

The circumferences are $200\pi$ and $2\pi r,$ so the initial point of tangency returns after $\dfrac{200\pi}{2\pi r} = \dfrac{100}{r}$ rolls.

For this to be an integer greater than $1,$ $r$ must be a divisor of $100$ less than $100:$ namely $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,$ and $50.$ That is $8$ values.

Thus, the correct answer is B.

20.

Andrea 和 Lauren 相距 $20$ 千米。她们骑自行车相向而行，其中 Andrea 的速度是 Lauren 的三倍，两人之间的距离以每分钟 $1$ 千米的速度缩短。 $5$ 分钟后，Andrea 因爆胎停止骑行并等待 Lauren。从她们开始骑车算起，Lauren 过多少分钟到达 Andrea 所在位置？

Andrea and Lauren are $20$ kilometers apart. They bike toward one another with Andrea traveling three times as fast as Lauren, and the distance between them decreasing at a rate of $1$ kilometer per minute. After $5$ minutes, Andrea stops biking because of a flat tire and waits for Lauren. After how many minutes from the time they started to bike does Lauren reach Andrea?

$20$

$30$

$55$

$65$

$80$

答案：D

知识点：路程、速度与时间速率

难度评级：1510

小提示：

设 Lauren 的速度为 $r$ ，则 $r + 3r = 1$ 千米/分钟。

Let Lauren’s rate be $r;$ then $r + 3r = 1$ kilometer per minute

大提示：

求 $5$ 分钟后剩余距离，再求 Lauren 独自走完它所需时间。

Find the distance left after $5$ minutes, then the time for Lauren to cover it alone

解答：

设 Lauren 的速度为 $r$ 千米/分钟。则 $r + 3r = 1$ ，所以 $r = \dfrac14$ 。

前 $5$ 分钟间距缩短 $5$ 千米，还剩 $15$ 千米。Lauren 独自以 $\dfrac14$ 千米/分钟走完，需 $\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60$ 分钟。

总时间为 $5 + 60 = 65$ 分钟。

所以正确答案是 D。

Let Lauren’s rate be $r$ km/min. Then $r + 3r = 1,$ so $r = \dfrac14.$

In the first $5$ minutes the gap shrinks by $5$ km, leaving $15$ km. Lauren covers this alone at $\dfrac14$ km/min, taking $\dfrac{15}{\frac{1}{4}} = 60$ minutes.

The total time is $5 + 60 = 65$ minutes.

Thus, the correct answer is D.

21.

许多哥特式大教堂的窗户中，有一些部分含有一圈全等小圆，并由一个大圆外接。在图中，小圆的数量为四个。四个小圆的面积之和与大圆面积的比是多少？

Many Gothic cathedrals have windows with portions containing a ring of congruent circles that are circumscribed by a larger circle. In the figure shown, the number of smaller circles is four. What is the ratio of the sum of the areas of the four smaller circles to the area of the larger circle?

$3 - 2\sqrt{2}$

$2 - \sqrt{2}$

$4(3 - 2\sqrt{2})$

$\dfrac{1}{2}(3 - \sqrt{2})$

$2\sqrt{2} - 2$

答案：C

知识点：相切圆面积比分母有理化

难度评级：1690

小提示：

设每个小圆半径为 $1$ ；它们的圆心构成边长为 $2$ 的正方形。

Let each small circle have radius $1;$ their centers form a square of side $2$

大提示：

大圆的直径等于该正方形的对角线加上两个小圆半径。

The large circle’s diameter is the square’s diagonal plus two small radii

解答：

设每个小圆半径为 $1$ 。它们的圆心构成边长为 $2$ 的正方形，该正方形对角线为 $2\sqrt2$ 。

大圆的直径为 $2 + 2\sqrt2$ ，所以半径为 $1 + \sqrt2$ 。

所求比值为 $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2) \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Let each small circle have radius $1.$ Their centers form a square of side $2,$ whose diagonal is $2\sqrt2.$

The large circle’s diameter is $2 + 2\sqrt2,$ so its radius is $1 + \sqrt2.$

The desired ratio is $\begin{aligned} \dfrac{4 \cdot \pi (1)^2}{\pi (1 + \sqrt2)^2} &= \dfrac{4}{3 + 2\sqrt2} \\ &= 4(3 - 2\sqrt2). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

22.

两个立方体骰子各有可拆卸的数字 $1$ 到 $6$ 。把两个骰子上的十二个数字拆下放入袋中，然后一次抽出一个，随机重新贴到两个立方体的面上，每面贴一个数字。随后掷这两个骰子，并把两个顶面上的数字相加。和为 $7$ 的概率是多少？

Two cubical dice each have removable numbers $1$ through $6.$ The twelve numbers on the two dice are removed, put into a bag, then drawn one at a time and randomly reattached to the faces of the cubes, one number to each face. The dice are then rolled and the numbers on the two top faces are added. What is the probability that the sum is $7?$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{11}$

$\dfrac{1}{5}$

答案：D

知识点：骰子（概率）基本概率对称性

难度评级：1820

小提示：

整个过程等价于随机选出十二张数字牌中的两张并相加。

The whole process is equivalent to picking two of the twelve tiles at random and adding them

大提示：

如果第一张显示 $N$ ，数一数剩余 $11$ 张中有多少张等于 $7 - N$ 。

After the first tile shows $N,$ count how many of the remaining $11$ tiles equal $7 - N$

解答：

随机贴数字再掷骰子，等价于从这十二个数字中随机选两个并相加。

假设第一个顶面显示 $N$ 。若和为 $7$ ，第二个必须是 $7 - N$ ；符合要求的牌恰有 $2$ 张，都等于 $7 - N$ ，而此时总共剩余 $11$ 张牌。

所以概率为 $\dfrac{2}{11}$ 。

所以正确答案是 D。

Randomly attaching the tiles and then rolling is equivalent to choosing two of the twelve numbers at random and adding them.

Suppose the first top face shows $N.$ For a sum of $7,$ the second must be $7 - N,$ and there are exactly $2$ tiles equal to $7 - N$ among the remaining $11.$

So the probability is $\dfrac{2}{11}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 9$ 、 $CD = 12$ 。对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于 $E$ ， $AC = 14$ ，并且 $\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 面积相等。 $AE$ 是多少？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

答案：E

知识点：三角形面积平行线相似

难度评级：1690

小提示：

在两个等面积三角形上都加上 $\triangle CED$ ，可得 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 面积相等。

Adding $\triangle CED$ to each equal-area triangle shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

大提示：

以共同底边 $CD$ 的面积相等，迫使 $AB \parallel CD$ ，从而 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ 。

Equal areas over the shared base $CD$ force $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$

解答：

因为 $[AED] = [BEC]$ ，两边都加上 $[CED]$ ，得到 $[ACD] = [BCD]$ 。它们共用底边 $CD$ ，所以 $A$ 和 $B$ 到直线 $CD$ 的距离相同，即 $AB \parallel CD$ 。

于是 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$ ，所以 $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34$ 。

又 $AE + EC = AC = 14$ ，得到 $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6$ 。

所以正确答案是 E。

Since $[AED] = [BEC],$ adding $[CED]$ to both gives $[ACD] = [BCD].$ These share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.$

With $AE + EC = AC = 14,$ we get $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.$

Thus, the correct answer is E.

24.

从一个立方体的顶点中随机选择三个不同顶点。由这三个顶点确定的平面包含立方体内部点的概率是多少？

Three distinct vertices of a cube are chosen at random. What is the probability that the plane determined by these three vertices contains points inside the cube?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{3}{4}$

答案：C

知识点：补集计数正方体组合

难度评级：1860

小提示：

该平面避开内部，恰好发生在三个顶点都位于同一个面上时。

The plane avoids the interior exactly when all three vertices lie on one face

大提示：

计算同一面上的三顶点组合数，再从总数 $\binom{8}{3}$ 中减去。

Count the same-face triples and subtract from the total $\binom{8}{3}$

解答：

三个顶点确定的平面会穿过内部，除非这三个顶点都在同一个面上。

$6$ 个面中每个面给出 $\binom{4}{3} = 4$ 组三顶点，所以同一面上的共有 $6 \cdot 4 = 24$ 组；总数为 $\binom{8}{3} = 56$ 。

穿过内部的概率为 $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Three vertices determine a plane that cuts through the interior unless all three lie on a single face.

Each of the $6$ faces gives $\binom{4}{3} = 4$ triples, so $6 \cdot 4 = 24$ triples lie on a face out of $\binom{8}{3} = 56$ total.

The probability of hitting the interior is $1 - \dfrac{24}{56} = \dfrac{4}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

25.

对 $k \gt 0$ ，令 $I_k = 10\ldots064$ ，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。设 $N(k)$ 为 $I_k$ 的质因数分解中因数 $2$ 的个数。 $N(k)$ 的最大值是多少？

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：B

知识点：质因数分解立方和与立方差分类讨论

难度评级：2160

小提示：

先写成 $I_k = 10^{k+2} + 64$ ，再分解为 $2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6$ 。

Write $I_k = 10^{k+2} + 64$ , then factor as $2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6$

大提示：

比较两项中 $2$ 的幂；相等情形 $k = 4$ 需要分解 $5^6 + 1$ 。

Compare the powers of $2$ in the two terms; the tie case $k = 4$ needs factoring $5^6 + 1$

解答：

写成 $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6 \end{aligned}\text{。}$

如果 $k \lt 4$ ，第一项含有少于 $6$ 个因数 $2$ ，所以 $N(k) = k + 2 \lt 6$ 。

如果 $k \gt 4$ ，第一项至少含有 $7$ 个因数 $2$ ，而第二项恰好含有 $6$ 个，所以它们的和恰好含有 $6$ 个这样的因数，即 $N(k) = 6$ 。

如果 $k = 4$ ，则 $I_4 = 2^6(5^6 + 1)$ 。因为 $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601$ ，它恰好多贡献一个因数 $2$ ，所以 $N(4) = 7$ 。

最大值为 $N(4) = 7$ 。

所以正确答案是 B。

Write $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

If $k \lt 4,$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) = k + 2 \lt 6.$

If $k \gt 4,$ the first term has at least $7$ factors of $2$ while the second has exactly $6,$ so their sum has exactly $6:$ $N(k) = 6.$

If $k = 4,$ then $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ it contributes exactly one more factor of $2.$ Thus $N(4) = 7.$

The maximum value is $N(4) = 7.$

Thus, the correct answer is B.