Question

在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ 、 $BC = 17$ 、 $CD = 5$ 、 $DA = 9$ ，且 $BD$ 是整数。 $BD$ 是多少？

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

分别对 $\triangle BCD$ 和 $\triangle ABD$ 使用三角形不等式。

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$ separately

对角线 $BD$ 必须满足 $12 \lt BD \lt 14$ 。

The diagonal $BD$ must satisfy $12 \lt BD \lt 14$

在 $\triangle BCD$ 中，三角形不等式给出 $5 + BD \gt 17$ ，所以 $BD \gt 12$ 。

在 $\triangle ABD$ 中，三角形不等式给出 $5 + 9 \gt BD$ ，所以 $BD \lt 14$ 。

唯一满足 $12 \lt BD \lt 14$ 的整数是 $BD = 13$ 。

所以正确答案是 C。

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $5 + BD \gt 17,$ so $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ it gives $5 + 9 \gt BD,$ so $BD \lt 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $BD = 13.$

Thus, the correct answer is C.