Question

三角形 $AMC$ 是等腰三角形，且 $AM = AC$ 。中线 $\overline{MV}$ 和 $\overline{CU}$ 互相垂直，并且 $MV=CU=12$ 。求 $\triangle AMC$ 的面积。

Triangle $AMC$ is isosceles with $AM = AC.$ Medians $\overline{MV}$ and $\overline{CU}$ are perpendicular to each other, and $MV=CU=12.$ What is the area of $\triangle AMC?$

$48$

$72$

$96$

$144$

$192$

答案：C

知识点：中线（几何）重心坐标几何

难度评级：1660

小提示：

把重心放在原点，并让两条垂直中线沿坐标轴方向。

Put the centroid at the origin and align the perpendicular medians with the axes

大提示：

重心把每条中线按 $2:1$ 分割。

The centroid divides each median in a $2:1$ ratio

视频讲解：

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文字解答：

设重心为原点。重心把中线按 $2:1$ 分割，所以可令中线 $MV$ 水平，取 $M=(8,0)$ 、 $V=(-4,0)$ ；中线 $CU$ 竖直，取 $C=(0,8)$ 、 $U=(0,-4)$ 。

因为 $U$ 是 $AM$ 的中点，所以 $A=2U-M=(-8,-8)$ 。 $\triangle AMC$ 的面积为 $\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|$ $=\dfrac12(256-64)=96$ 。正确答案是 C。

Let the centroid be the origin. Since a centroid divides each median in a $2:1$ ratio, we may place median $MV$ horizontally with $M=(8,0)$ and $V=(-4,0)$ , and median $CU$ vertically with $C=(0,8)$ and $U=(0,-4)$ .

Because $U$ is the midpoint of $AM$ , we get $A=2U-M=(-8,-8)$ . The area of $\triangle AMC$ is $\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|$ $=\dfrac12(256-64)=96$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 12 题