Question

点 $(\sqrt{\pi}, a)$ 和 $(\sqrt{\pi}, b)$ 是方程 $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1$ 图像上的两个不同点。求 $|a-b|$ 的值。

Points $(\sqrt{\pi}, a)$ and $(\sqrt{\pi}, b)$ are distinct points on the graph of $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ What is $|a-b|?$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\sqrt{1+\pi}$

$1 + \sqrt{\pi}$

代入 $x=\sqrt{\pi}$ ，并对 $y$ 配方。

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ and complete a square in $y$

两个 $y$ 值关于 $\pi$ 对称。

The two $y$ -values are symmetric around $\pi$

代入 $x=\sqrt{\pi}$ 。于是 $x^2=\pi$ ， $x^4=\pi^2$ ，所以方程变为 $y^2-2\pi y+\pi^2=1\text{。}$

因此 $(y-\pi)^2=1$ ，从而得到两个可能取值 $y=\pi+1$ 和 $y=\pi-1$ 。它们的距离为 $2$ 。

所以正确答案是 C。

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ . Then $x^2=\pi$ and $x^4=\pi^2$ , so the equation becomes $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Hence $(y-\pi)^2=1$ , giving the two possible values $y=\pi+1$ and $y=\pi-1$ . Their distance is $2$ .

Thus, C is the correct answer.