Question

圆环是两个同心圆之间的区域。图中同心圆半径分别为 $b$ 和 $c$ ，其中 $b \gt c$ 。令 $\overline{OX}$ 为大圆半径， $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点与小圆相切， $\overline{OY}$ 是经过 $Z$ 的大圆半径。设 $a = XZ$ 、 $d = YZ$ 、 $e = XY$ 。这个圆环的面积是多少？

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

答案：A

知识点：圆环圆面积切线勾股定理

难度评级：1390

小提示：

环形区域面积为 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2$

大提示：

因为 $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点相切，三角形 $OZX$ 是直角三角形，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ 。

Since $\overline{XZ}$ is tangent at $Z,$ triangle $OZX$ is right-angled, giving $b^2 - c^2 = a^2$

解答：

圆环面积是两个圆面积之差，即 $\pi b^2 - \pi c^2$ 。

因为 $\overline{XZ}$ 在 $Z$ 点与小圆相切，所以它垂直于半径 $\overline{OZ}$ 。在直角三角形 $OZX$ 中， $OX = b$ 、 $OZ = c$ 、 $XZ = a$ ，所以 $b^2 - c^2 = a^2$ 。

因此圆环面积为 $\pi a^2$ 。

所以正确答案是 A。

The annulus is the difference of the two circular areas, $\pi b^2 - \pi c^2.$

Because $\overline{XZ}$ is tangent to the small circle at $Z,$ it is perpendicular to the radius $\overline{OZ}.$ In right triangle $OZX$ with $OX = b,$ $OZ = c,$ and $XZ = a,$ we get $b^2 - c^2 = a^2.$

Therefore the area of the annulus is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 10B 第 12 题

答案：A

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

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