Question

数 $N$ 的九进制表示为 $27{,}006{,}000{,}052_9$ 。 $N$ 除以 $5$ 的余数是多少？

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_9.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：进制模运算

难度评级：1070

小提示：

模 $5$ 下有 $9\equiv -1$ 。

Work modulo $5,$ where $9\equiv -1$

大提示：

只有非零的九进制数字才有贡献。

Only the nonzero base-nine digits contribute

解答：

注意 $9 \equiv -1 \pmod{5}\text{。}$ 按进位制定义展开 $N$ ，得到 $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Note that $9 \equiv -1 \pmod{5}.$ Then if expand $N$ using the definition of bases, we get $N = 2 \cdot 9^{10} + 7 \cdot 9^9 + 6 \cdot 9^6 +$ $5 \cdot 9 + 2$ $\equiv 2 (-1)^{10} + 7 (-1)^9 + 6 (-1)^6 +$ $5 (-1) + 2 \pmod{5}$ $\equiv 2 - 7 + 6 - 5 + 2 \pmod{5}$ $\equiv 3 \pmod{5}.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall 第 12 题

答案：D

难度评级：1070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题