Question

下列 $4040$ 个数的列表的中位数是多少？ $\begin{aligned} &1,2,3,\ldots,2020,\\ &1^2,2^2,3^2,\ldots,2020^2 \end{aligned}$

What is the median of the following list of $4040$ numbers? $\begin{aligned} &1,2,3,\ldots,2020,\\ &1^2,2^2,3^2,\ldots,2020^2 \end{aligned}$

$1974.5$

$1975.5$

$1976.5$

$1977.5$

$1978.5$

答案：C

知识点：中位数（数据）完全平方数区间内整数计数

难度评级：1480

小提示：

在中位数附近，分别统计普通整数和平方数。

Near the median, count ordinary integers and square numbers separately

大提示：

使用 $44^2<2020<45^2$ 。

Use $44^2<2020<45^2$

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

对中位数附近的一个数，排好序的列表中不超过它的项包括所有不超过它的普通整数和所有不超过它的平方数。因为 $44^2=1936$ 且 $45^2=2025$ ，所以从 $1936$ 到 $2020$ 之间的任一数，都恰有 $44$ 个平方数不超过它。

在 $1975$ 处，不超过它的项有 $1975+44=2019$ 个，其中普通整数截至 $1975$ 。在 $1976$ 处，不超过该数的项有 $2020$ 个，其中普通整数截至 $1976$ ，所以第 $2020$ 项为 $1976$ ，下一项为 $1977$ 。中位数为 $1976.5$ 。正确答案是 C。

For a number near the median, the sorted list includes all ordinary integers up to that number and all squares up to that number. Since $44^2=1936$ and $45^2=2025$ , there are $44$ squares not exceeding any number from $1936$ through $2020$ .

At $1975$ , there are $1975+44=2019$ list entries at most $1975$ . At $1976$ , there are $2020$ entries at most $1976$ , so the $2020$ th entry is $1976$ , and the next is $1977$ . The median is $1976.5$ . Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10A 第 11 题