Question

当 $p$ 是质数时，下面哪个表达式永远不是质数？

Which of the following expressions is never a prime number when $p$ is a prime number?

$p^2 + 16$

$p^2 + 24$

$p^2 + 26$

$p^2 + 46$

$p^2 + 96$

答案：C

知识点：质数模运算

难度评级：1500

小提示：

逐一考察这些表达式模 $3$ 的余数；若质数 $p \ne 3$ ，则 $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ 。

Test the expressions modulo $3;$ for a prime $p \ne 3,$ $p^2 \equiv 1 \pmod 3$

大提示：

对正确选项，还要单独检查 $p = 3$ ，再说明其他质数时它总是 $3$ 的倍数。

For the correct choice, also check $p = 3$ separately, then show it is a multiple of $3$ for all other primes

解答：

考虑 $p^2 + 26$ 。若 $p = 3$ ，则它等于 $35 = 5 \cdot 7$ ，不是质数。若 $p$ 是其他质数，则它不被 $3$ 整除，所以 $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ ，并且 $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3$ 。无论哪种情况，它都是大于 $3$ 的 $3$ 的倍数，因此不是质数。正确答案是 C。

Look at $p^2 + 26.$ When $p = 3,$ it’s $35 = 5 \cdot 7.$ For any other prime, $p$ isn’t divisible by $3,$ so $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ and $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3.$ Either way it’s a multiple of $3$ bigger than $3,$ hence composite. So it’s never prime. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B 第 11 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题