Question

实数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $x^2+y^2=10x-6y-34\text{。}$ 求 $x+y$ 的值。

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2+y^2=10x-6y-34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

答案：B

知识点：配方法

难度评级：1020

小提示：

把所有项移到一边并配方。

Move all terms to one side and complete two squares

大提示：

两个平方数之和为零时，每个平方数都必须为零。

A sum of squares equals zero only when both squares are zero

解答：

方程可化为 $x^2-10x+y^2+6y+34=0\text{。}$

配方得 $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0\text{。}$ 两个平方项都非负，而它们的和为 $0$ ，所以两者都等于 $0$ ，即 $(x-5)^2 = (y+3)^2=0\text{。}$

因此 $x=5,y=-3$ ，所以 $x+y=2$ 。

所以正确答案是 B。

This can be rewritten as $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

Completing the square yields $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Since both squared terms are nonnegative and their sum is $0,$ both must be $0$ . Thus $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Therefore, $x=5,y=-3,$ so $x+y=2.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 10B 第 11 题

答案：B

难度评级：1020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题