Question

下图中， $WXYZ$ 是长方形，且 $WX = 4$ 、 $WZ = 8$ 。点 $M$ 在 $\overline{XY}$ 上，点 $A$ 在 $\overline{YZ}$ 上，且 $\angle WMA$ 是直角。 $\triangle WXM$ 与 $\triangle WAZ$ 的面积相等。求 $\triangle WMA$ 的面积。

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX = 4$ and $WZ = 8.$ Point $M$ lies on $\overline{XY},$ point $A$ lies on $\overline{YZ},$ and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA?$

$13$

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$16$

$17$

答案：C

知识点：坐标几何向量面积分割

难度评级：1500

小提示：

设 $X = (0,0)$ 、 $Y = (8,0)$ 、 $W = (0,4)$ 、 $Z = (8,4)$ ，并设 $M = (m, 0)$ 、 $A = (8, a)$ 。

Set $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ and $A = (8, a)$

大提示：

垂直条件给出 $m(8 - m) = 4a$ ；面积相等给出 $2m = 4(4 - a)$ 。

Perpendicularity gives $m(8 - m) = 4a;$ equal areas give $2m = 4(4 - a)$

解答：

设 $X = (0,0)$ 、 $Y = (8,0)$ 、 $W = (0,4)$ 、 $Z = (8,4)$ ，于是 $M = (m, 0)$ 、 $A = (8, a)$ 。直角条件表示 $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0$ ，给出 $-m(8 - m) + 4a = 0$ ，即 $m(8 - m) = 4a$ 。面积相等 $[WXM] = 2m$ 和 $[WAZ] = 4(4 - a)$ 迫使 $m = 8 - 2a$ ，所以 $a = \tfrac{8 - m}{2}$ 。代回得 $(8 - m)(2 - m) = 0$ 。取 $M \ne Y$ ，得到 $m = 2$ 、 $a = 3$ 。于是 $[WMA] = 32$ $- [WXM]$ $- [MYA]$ $- [AZW]$ $= 32 - 4 - 9 - 4$ $= 15$ 。因此正确答案是 C。

Set $X = (0,0),$ $Y = (8,0),$ $W = (0,4),$ $Z = (8,4),$ so $M = (m, 0)$ and $A = (8, a).$ The right angle means $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ which gives $-m(8 - m) + 4a = 0,$ that is $m(8 - m) = 4a.$ Equal areas $[WXM] = 2m$ and $[WAZ] = 4(4 - a)$ force $m = 8 - 2a,$ so $a = \tfrac{8 - m}{2}.$ Substitute back and $(8 - m)(2 - m) = 0.$ Taking $M \ne Y$ leaves $m = 2$ and $a = 3.$ Then $[WMA] = 32$ $- [WXM]$ $- [MYA]$ $- [AZW]$ $= 32 - 4 - 9 - 4$ $= 15.$ Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10B 第 11 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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