Question

一个面积为 $2$ 的正方形内接于一个面积为 $3$ 的正方形，如下图所示，从而形成四个全等的三角形。阴影直角三角形中，较短直角边与较长直角边的比是多少？

A square of area $2$ is inscribed in a square of area $3,$ creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$2 - \sqrt{3}$

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$

$\sqrt{2} - 1$

答案：C

知识点：正方形（几何）勾股定理韦达定理

难度评级：1500

小提示：

每个角上的三角形有直角边 $a,b$ ，满足 $a+b=\sqrt3$ （大正方形边长）且 $a^2+b^2=2$ （小正方形边长的平方）

Each corner triangle has legs $a,b$ with $a+b=\sqrt3$ (a side of the big square) and $a^2+b^2=2$ (a side of the small square)

大提示：

用 $(a+b)^2-(a^2+b^2)$ 求 $2ab$ ；然后 $a$ 和 $b$ 是 $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0$ 的根

$(a+b)^2-(a^2+b^2)$ gives $2ab;$ then $a$ and $b$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0$

解答：

每个角上的直角三角形有直角边 $a$ 和 $b$ 。外层正方形的一条边给出 $a+b=\sqrt3$ ，内接正方形的一条边给出 $a^2+b^2=2$ 。相减求积： $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$ $=3-2$ $=1$ ，所以 $ab=\tfrac12$ 。于是 $a$ 和 $b$ 是 $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0$ 的根，即 $\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}$ 。较短边与较长边之比为 $\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$ $=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}$ $=2-\sqrt3$ 。因此，正确答案是 C。

Each corner right triangle has legs $a$ and $b.$ A side of the outer square gives $a+b=\sqrt3,$ and a side of the inscribed square gives $a^2+b^2=2.$ Subtract to find the product: $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$ $=3-2$ $=1,$ so $ab=\tfrac12.$ Then $a$ and $b$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ namely $\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}.$ The ratio of the smaller leg to the larger is $\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}$ $=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}$ $=2-\sqrt3.$ Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10A 第 11 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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