Question

有多少个整数有序对 $(m, n)$ 满足

$\sqrt{n^2 - 49} = m\text{？}$

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy

$\sqrt{n^2 - 49} = m?$

$1$

$2$

$3$

$4$

无限多个

Infinitely many

答案：D

知识点：丢番图方程平方差根式

难度评级：1440

小提示：

平方后得到 $n^2 - 49 = m^2$ ，即 $(n - m)(n + m) = 49$ 。

Squaring gives $n^2 - 49 = m^2,$ so $(n - m)(n + m) = 49$

大提示：

$49$ 的分解很少；还要注意 $m = \sqrt{\cdots} \ge 0$ ，但 $n$ 可以为负。

$49$ has few factorizations; also $m = \sqrt{\cdots} \ge 0,$ while $n$ may be negative

解答：

因为 $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ 且为整数，所以 $n^2 - 49 = m^2$ ，即 $(n - m)(n + m) = 49$ 。分解 $49$ 可得 $|n| = 25, m = 24$ ，或 $|n| = 7, m = 0$ 。因此有序对 $(m, n)$ 为 $(24, 25)$ 、 $(24, -25)$ 、 $(0, 7)$ 、 $(0, -7)$ ，共 $4$ 个，正确答案是 D。

Note $m = \sqrt{n^2 - 49} \ge 0$ has to be an integer, so $n^2 - 49 = m^2,$ which means $(n - m)(n + m) = 49.$ The factorizations of $49$ give $|n| = 25, m = 24$ or $|n| = 7, m = 0.$ So the ordered pairs $(m, n)$ are $(24, 25),$ $(24, -25),$ $(0, 7),$ $(0, -7).$ That’s $4$ of them. Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 10A 第 11 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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