Question

考虑如下操作。给定正整数 $n$ ，若 $n$ 是 $3$ 的倍数，就把 $n$ 替换为 $\tfrac{n}{3}$ 。若 $n$ 不是 $3$ 的倍数，就把 $n$ 替换为 $n + 10$ 。然后继续这个过程。例如，从 $n = 4$ 开始，得到 $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots$ 。

如果从 $n = 100$ 开始，恰好执行这个操作 $100$ 次后得到什么值？

Consider the following operation. Given a positive integer $n,$ if $n$ is a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $\tfrac{n}{3}.$ If $n$ is not a multiple of $3,$ then you replace $n$ by $n + 10.$ Then continue this process. For example, beginning with $n = 4,$ this procedure gives $4 \to 14 \to 24 \to 8$ $\to 18 \to 6 \to 2 \to 12 \to \cdots.$

Suppose you start with $n = 100.$ What value results if you perform this operation exactly $100$ times?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

答案：C

知识点：递推模运算过程模拟找规律

难度评级：1350

小提示：

从 $100$ 开始计算前几项；数值很快会开始循环。

Compute the first several terms from $100;$ the values soon start repeating

大提示：

一旦序列到达 $10$ ，就按 $10 \to 20 \to 30$ 循环，周期为 $3$ ；定位第 $100$ 步。

Once the sequence reaches $10$ it cycles $10 \to 20 \to 30$ with period $3;$ locate step $100$ in the cycle

解答：

从 $100$ 开始直接运行： $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots$ 。第 $8$ 步后到达 $10$ ，之后按 $10, 20, 30$ 循环，周期为 $3$ 。因此第 $8 + k$ 步是循环中的第 $k$ 项。对第 $100$ 步，有 $k = 92$ ，且 $92 \equiv 2 \pmod 3$ ，所以落在 $30$ 。因此正确答案是 C。

Just run it from $100:$ $100 \to 110 \to 120 \to 40$ $\to 50 \to 60 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to 20$ $\to 30 \to 10 \to \cdots.$ After the $8$ th step we’re at $10,$ and from there it cycles $10, 20, 30$ with period $3.$ So step $8 + k$ is the $k$ th entry of the cycle. For step $100,$ $k = 92,$ and $92 \equiv 2 \pmod 3,$ which lands on $30.$ Therefore, the answer is C.

2024 AMC 10A 第 10 题

答案：C

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题