Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AC = BC = 7$ ，且 $AB = 2$ 。设 $D$ 是直线 $AB$ 上一点， $B$ 在 $A$ 与 $D$ 之间，且 $CD = 8$ 。 $BD$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ we have $AC = BC = 7$ and $AB = 2.$ Suppose that $D$ is a point on line $AB$ such that $B$ lies between $A$ and $D$ and $CD = 8.$ What is $BD?$

$3$

$2\sqrt{3}$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

答案：A

知识点：等腰三角形高线勾股定理

难度评级：1370

小提示：

从 $C$ 向直线 $AB$ 作高；垂足是 $AB$ 的中点。

Drop the altitude from $C$ to line $AB;$ its foot is the midpoint of $AB$

大提示：

这条高的长度为 $\sqrt{7^2-1^2}$ ，并被直角三角形 $CHB$ 和 $CHD$ 共用。

The altitude has length $\sqrt{7^2-1^2},$ shared by right triangles $CHB$ and $CHD$

解答：

设 $H$ 为从 $C$ 到直线 $AB$ 的垂足。因为 $AC = BC$ ， $H$ 是 $AB$ 的中点，所以 $BH = 1$ ，且 $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48$ 。

在 $\triangle CHD$ 中应用勾股定理，其中 $HD = BH + BD = 1 + BD$ ，得到 $8^2 = 48 + (1 + BD)^2\text{，}$ 所以 $(1 + BD)^2 = 16$ 。

因此 $1 + BD = 4$ ，所以 $BD = 3$ 。

所以正确答案是 A。

Let $H$ be the foot of the altitude from $C$ to line $AB.$ Since $AC = BC,$ $H$ is the midpoint of $AB,$ so $BH = 1$ and $CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.$

Applying the Pythagorean theorem in $\triangle CHD,$ where $HD = BH + BD = 1 + BD,$ gives $8^2 = 48 + (1 + BD)^2,$ so $(1 + BD)^2 = 16.$

Then $1 + BD = 4,$ so $BD = 3.$

Thus, A is the correct answer.

2005 AMC 10B 第 10 题

答案：A

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题