Question

下列表达式等价于哪一个？ $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64}) \end{aligned}\text{？}$

Which of the following is equivalent to $\begin{aligned} &(2+3)(2^2+3^2)\\ &\quad\cdot(2^4+3^4)(2^8+3^8)\\ &\quad\cdot(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})\\ &\quad\cdot(2^{64}+3^{64})? \end{aligned}$

$3^{127} + 2^{127}$

$3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63}$ $+ 3 \cdot 2^{63}$

$3^{128} - 2^{128}$

$3^{128} + 2^{128}$

$5^{127}$

答案：C

知识点：平方差裂项相消

难度评级：1070

小提示：

乘以 $3-2$ ，它的值等于 $1$ 。

Multiply by $3-2,$ which is equal to $1$

大提示：

每一步都会用一个因子产生下一次平方差。

Each factor then creates the next difference of squares

视频讲解：

Click to load, then click again to play

文字解答：

把这个乘积乘以 $3-2=1$ 。反复应用平方差公式，得到 $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4 \end{aligned}\text{，}$ 同样的相消一直进行到最后一个因子。因此这个乘积等于 $3^{128}-2^{128}$ 。

所以正确答案是 C。

Multiply the product by $3-2=1.$ Repeatedly applying the difference-of-squares identity gives $\begin{aligned} (3-2)(3+2)&=3^2-2^2,\\ (3^2-2^2)(3^2+2^2)&=3^4-2^4, \end{aligned}$ and the same cancellation continues through the final factor. Therefore the product is $3^{128}-2^{128}.$

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring 第 10 题