Question

点 $A$ 和 $B$ 在半径为 $5$ 的圆上，且 $AB=6$ 。点 $C$ 是小弧 $AB$ 的中点。线段 $AC$ 的长度是多少？

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB=6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

答案：A

知识点：弦勾股定理圆

难度评级：1170

小提示：

从圆心经过 $C$ 的直线垂直平分弦 $AB$ 。

The line from the center through $C$ perpendicularly bisects chord $AB$

大提示：

先求圆心到弦的距离，再从 $5$ 中减去它，得到到 $C$ 的距离，然后使用一条直角边为 $3$ 的直角三角形。

Find the center-to-chord distance, subtract from $5$ to reach $C,$ then use the right triangle with leg $3$

解答：

设 $O$ 为圆心， $D$ 为 $AB$ 的中点。于是 $OD\perp AB$ ，且 $AD=3$ ，所以 $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4$ 。

因为 $C$ 是小弧中点，所以 $O$ 、 $D$ 、 $C$ 共线，且 $DC=OC-OD=5-4=1$ 。

因此 $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}$ 。

所以正确答案是 A。

Let $O$ be the center and $D$ the midpoint of $AB.$ Then $OD\perp AB$ with $AD=3,$ so $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Since $C$ is the midpoint of the minor arc, $O,$ $D,$ $C$ are collinear and $DC=OC-OD=5-4=1.$

Then $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10B 第 10 题

答案：A

难度评级：1170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题