Question

令

$\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8} \end{aligned}\text{。}$

$P(2022)$ 、 $P(2023)$ 、 $P(2024)$ 和 $P(2025)$ 中有多少个值是整数？

Let

$\begin{aligned} P(m) &= \frac{m}{2} + \frac{m^2}{4} \\ &\quad {}+ \frac{m^4}{8} + \frac{m^8}{8}. \end{aligned}$

How many of the values of $P(2022),$ $P(2023),$ $P(2024),$ and $P(2025)$ are integers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：模运算奇偶性分类讨论

难度评级：2380

小提示：

通分到分母 $8$ ，得到 $P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}$ 。

Over the common denominator $8,$ $P(m) = \dfrac{4m + 2m^2 + m^4 + m^8}{8}$

大提示：

分别对偶数和奇数 $m$ 检查 $4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8$ 。

Check $4m + 2m^2 + m^4 + m^8 \pmod 8$ separately for even and odd $m$

解答：

通分到 $8$ ： $P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}$ 。若 $m$ 为偶数，分子每一项都被 $8$ 整除。若 $m$ 为奇数，则 $m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1$ 且 $4m \equiv 4 \pmod 8$ ，所以分子为 $1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8$ 。两种情况下 $P(m)$ 都是整数，因此 $4$ 个值全是整数。正确答案是 E。

Put everything over $8:$ $P(m) = \dfrac{m^8 + m^4 + 2m^2 + 4m}{8}.$ If $m$ is even, every term up top is divisible by $8.$ If $m$ is odd, then $m^2 \equiv m^4 \equiv m^8 \equiv 1$ and $4m \equiv 4 \pmod 8,$ so the numerator is $1 + 1 + 2 + 4 = 8 \equiv 0 \pmod 8.$ Either way $P(m)$ is an integer, so all $4$ values are integers. Therefore, the answer is E.

2024 AMC 10B 第 24 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题